如何理解“递归”？

递归是一种应用非常广泛的算法（或者编程技巧）。之后我们要讲的很多数据结构和算法的编码实现都要用到递归，比如 DFS 深度优先搜索、前中后序二叉树遍历等等。所以，搞懂递归非常重要，否则，后面复杂一些的数据结构和算法学起来就会比较吃力。

周末你带着女朋友去电影院看电影，女朋友问你，咱们现在坐在第几排啊？电影院里面太黑了，看不清，没法数，现在你怎么办？

别忘了你是程序员，这个可难不倒你，递归就开始排上用场了。于是你就问前面一排的人他是第几排，你想只要在他的数字上加一，就知道自己在哪一排了。但是，前面的人也看不清啊，所以他也问他前面的人。就这样一排一排往前问，直到问到第一排的人，说我在第一排，然后再这样一排一排再把数字传回来。直到你前面的人告诉你他在哪一排，于是你就知道答案了。

这就是一个非常标准的递归求解问题的分解过程，去的过程叫“递”，回来的过程叫“归”。

递归需要满足的三个条件

1. 一个问题的解可以分解为几个子问题的解何为子问题？子问题就是数据规模更小的问题。
比如，前面讲的电影院的例子，你要知道，“自己在哪一排”的问题，可以分解为“前一排的人在哪一排”这样一个子问题。

2. 这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样
比如电影院那个例子，你求解“自己在哪一排”的思路，和前面一排人求解“自己在哪一排”的思路，是一模一样的。

3. 存在递归终止条件
把问题分解为子问题，把子问题再分解为子子问题，一层一层分解下去，不能存在无限循环，这就需要有终止条件。比如C寻找B，B寻找A，A寻找C。（这种情况可以增加一个回环检测机制）

如何编写递归代码？

写递归代码最关键的是写出递推公式，找到终止条件，剩下将递推公式转化为代码就很简单了。

找到如何将大问题分解为小问题的规律，并且基于此写出递推公式，然后再推敲终止条件，最后将递推公式和终止条件翻译成代码。

只要遇到递归，我们就把它抽象成一个递推公式，不用想一层层的调用关系，不要试图用人脑去分解递归的每个步骤。

递归代码要警惕堆栈溢出

函数调用会使用栈来保存临时变量。每调用一个函数，都会将临时变量封装为栈帧压入内存栈，等函数执行完成返回时，才出栈。系统栈或者虚拟机栈空间一般都不大。如果递归求解的数据规模很大，调用层次很深，一直压入栈，就会有堆栈溢出的风险。
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那么，如何避免出现堆栈溢出呢？

我们可以通过在代码中限制递归调用的最大深度的方式来解决这个问题。递归调用超过一定深度（比如 1000）之后，我们就不继续往下再递归了，直接返回报错。

  1. // 全局变量，表示递归的深度。
  2. int depth = 0;
  4. int f(int n) {
  5.   ++depth；
  6.   if (depth > 1000) throw exception;
  8.   if (n == 1) return 1;
  9.   return f(n-1) + 1;
  10. }

但这种做法并不能完全解决问题，因为最大允许的递归深度跟当前线程剩余的栈空间大小有关，事先无法计算。如果实时计算，代码过于复杂，就会影响代码的可读性。所以，如果最大深度比较小，比如 10、50，就可以用这种方法，否则这种方法并不是很实用。

案例：小青蛙跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

1、第一递归函数功能
假设f(n)的功能是求青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法，代码如下：

  1. int f(int n){
  3. }

2、找出递归结束的条件
我说了，求递归结束的条件，你直接把n压缩到很小很小就行了，因为n越小，我们就越容易直观着算出 f(n)的多少，所以当n = 1时，你知道 f(1) 为多少吧？够直观吧？即 f(1) = 1。代码如下：

  1. int f(int n){
  2.     if(n == 1){
  3.         return 1;
  4.     }
  5. }

第三要素：找出函数的等价关系式
每次跳的时候，小青蛙可以跳一个台阶，也可以跳两个台阶，也就是说，每次跳的时候，小青蛙有两种跳法。

第一种跳法：第一次我跳了一个台阶，那么还剩下n-1个台阶还没跳，剩下的n-1个台阶的跳法有f(n-1)种。

第二种跳法：第一次跳了两个台阶，那么还剩下n-2个台阶还没，剩下的n-2个台阶的跳法有f(n-2)种。

所以，小青蛙的全部跳法就是这两种跳法之和了，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。至此，等价关系式就求出来了。于是写出代码：

  1. int f(int n){
  2.     if(n == 1){
  3.         return 1;
  4.     }
  5.     ruturn f(n-1) + f(n-2);
  6. }

大家觉得上面的代码对不对？

答是不大对，当 n = 2时，显然会有f(2) = f(1) + f(0)。我们知道，f(0) = 0，按道理是递归结束，不用继续往下调用的，但我们上面的代码逻辑中，会继续调用f(0) = f(-1) + f(-2)。这会导致无限调用，进入死循环。

这也是我要和你们说的，关于递归结束条件是否够严谨问题，有很多人在使用递归的时候，由于结束条件不够严谨，导致出现死循环。也就是说，当我们在第二步找出了一个递归结束条件的时候，可以把结束条件写进代码，然后进行第三步，但是请注意，当我们第三步找出等价函数之后，还得再返回去第二步，根据第三步函数的调用关系，会不会出现一些漏掉的结束条件。就像上面，f(n-2)这个函数的调用，有可能出现f(0)的情况，导致死循环，所以我们把它补上。代码如下：

  1. int f(int n){
  2.     //经过分析，f(2)=2也是一个临界条件。
  3.     if(n <= 2){
  4.         return n;
  5.     }
  6.     ruturn f(n-1) + f(n-2);
  7. }