特性篇(1038、230、538、剑指54)介绍了 BST 的基本特性，还利用二叉搜索树「中序遍历有序」的特性来解决了几道题目，本文来实现 BST 的基础操作：判断 BST 的合法性、增、删、查。其中「删」和「判断合法性」略微复杂。

BST的基础操作主要依赖「左小右大」的特性，可以在二叉树中做类似二分搜索的操作，寻找一个元素的效率很高，比如下面就是一个合法的二叉树。

对于BST相关的问题，我们会经常看到类似下面的代码逻辑，这个代码框架其实和二叉树的遍历框架差不多，无非就是利用了 BST 左小右大的特性而已：

void BST(TreeNode root, int target) {
    if (root.val == target){
        // 找到目标，做点什么
    }
    if (root.val < target){
        //target大于当前节点的值，则去遍历搜索右子树
        BST(root.right, target);
    }
    if (root.val > target){
        //target小于当前节点的值，则去遍历搜索左子树
        BST(root.left, target);
    }
}

1、判断BST的合法性

98. 验证二叉搜索树

初学者做这题很容易有误区：BST 不是左小右大么，那我只要检查 root.val > root.left.val 且 root.val < root.right.val 不就行了？
这样是不对的，因为 BST 左小右大的特性是指 root.val 要比左子树的所有节点都更大，要比右子树的所有节点都小，你只检查左右两个子节点当然是不够的。
正确解法是通过使用辅助函数，增加函数参数列表，在参数中携带额外信息，将这种约束传递给子树的所有节点，这也是二叉搜索树算法的一个小技巧吧。
这道题的核心在于，我们要把当前这个节点的范围定义出来，例如，min < 左子树 < root，root < 右子树 < max，如果不符合max 和 min的限制，说明不是合法的BST。

// 主函数
public boolean isValidBST(TreeNode root) {
    return isValidBST(root, null, null);
}
// 辅助函数
boolean isValidBST(TreeNode root, TreeNode min, TreeNode max){
    // base case
    if(root == null) return true;
    // 如果 root 不符合 min 和 max 的限制，说明不是合法的BST
    // root.val必须大于min，否则是不合法的BTS
    if(min != null && root.val <= min.val) return false;
    // root.val必须小于max，否则是不合法的BTS
    if(max != null && root.val >= max.val) return false;
    // 限定左子树的最大值为root.val，右子树的最小值是root.val
    return isValidBST(root.left, min, root) && isValidBST(root.right, root, max);
}

2、在BST中搜索元素

700. 二叉搜索树中的搜索

如果在一颗普通的二叉树中寻找，代码可以这样写：

// 定义：寻找以root为根的二叉树中的target
TreeNode searchBST(TreeNode root, int target);
    if (root == null) return null;
    if (root.val == target) return root;
    // 当前节点没找到就递归地去左右子树寻找
    TreeNode left = searchBST(root.left, target);
    TreeNode right = searchBST(root.right, target);
    return left != null ? left : right;
}

这段代码遍历了所有节点，所以适用于所有二叉树。但是如何利用BST的特殊性，把「左小右大」的特性用上？
很简单，其实不需要递归搜索两边，类似二分查找，根据 target 和 root.val 的大小作比较，就能排除一边：

TreeNode searchBST(TreeNode root, int target){
    if(root == null) return null;
    //去左子树搜索
    if(root.val > target){
        return searchBST(root.left, target);
    }
    //去右子树搜索
    if(root.val < target){
        return searchBST(root.right, target);
    }
    return root;
}

3、在BST中插入一个数

701. 二叉搜索树中的插入操作

对数据结构的操作无非遍历 + 访问，遍历就是「找」，访问就是「改」。具体到这个问题，插入一个数，就是先找到插入位置，然后进行插入操作。
上一个问题，我们总结了 BST 中的遍历框架，就是「找」的问题。直接套框架，加上「改」的操作即可。一旦涉及「改」，就类似二叉树的构造问题，函数要返回 TreeNode 类型，并且要对递归调用的返回值进行接收。

public TreeNode insertIntoBST(TreeNode root, int val) {
    if(root == null) return new TreeNode(val);
    // 去左子树搜索
    if(root.val > val){
        root.left = insertIntoBST(root.left, val);
    }
    // 去右子树搜索
    if(root.val < val){
        root.right = insertIntoBST(root.right, val);
    }
    return root;
}

4、在BST中删除一个数

删除一个数，和插入操作类似，先「找」再「改」，先把框架先写出来：

TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
    if (root.val == key) {
        // 找到啦，进行删除
    } else if (root.val > key) {
        // 去左子树找
        root.left = deleteNode(root.left, key);
    } else if (root.val < key) {
        // 去右子树找
        root.right = deleteNode(root.right, key);
    }
    return root;
}

当我们找到目标节点，比如说节点 A，如何删除这个节点，这是难点。因为删除节点的同时不能破坏BST的性质，有三种情况：

情况1：A 正好是末端节点，也就是叶子节点，A的两个子节点都为空，那就可以直接删除A

if(root.left == null && root.right == null){
    return null;
}

情况2：A 只有一个非空子节点，那马他要让这个孩子接替自己的位置

//排除了情况1之后
if(root.left == null) return root.right;
if(root.right == null) return root.left;

情况3：A 有两个子节点，那就很麻烦了。为了不破坏BST的特性，A 必须找到左子树中最大的节点，或者右子树中最小的节点来接替自己，这里我们用第二种方式来讲解。

if(root.left != null && root.right != null){
    //找到右子树中最小的节点
    TreeNode minNode = getMin(root.right);
    //把root改成minNode
    root.val = minNode.val;
    //然后删除minNode
    root.right = deleteNode(root.right minNode.val);
}

450. 删除二叉搜索树中的节点

三种情况分析完毕，填入框架：

public TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
    if(root == null) return null;
    if(root.val == key){
        // 情况1
        if(root.left == null && root.right == null){
            return null;
        }
        // 情况2
        if(root.left == null) return root.right;
        if(root.right == null) return root.left;
        // 情况3
        // 获得右子树最小的节点
        TreeNode minNode = getMin(root.right);
        // 删除右子树最小的节点
        root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
        // 把root改成minNode
        minNode.left = root.left;
        minNode.right = root.right;
        root = minNode;
    }else if(root.val > key){
        // 如果key的值比root小，说明要从左子树里删
        root.left = deleteNode(root.left, key);
    }else if(root.val < key){
        root.right = deleteNode(root.right, key);
    }
    return root;
}
TreeNode getMin(TreeNode node) {
    // BST 最左边的就是最小的
    while (node.left != null) node = node.left;
    return node;
}

这样，删除操作就完成了。注意一下，上述代码在处理情况 3 时通过一系列略微复杂的链表操作交换 root 和 minNode 两个节点：

// 处理情况 3
// 获得右子树最小的节点
TreeNode minNode = getMin(root.right);
// 删除右子树最小的节点
root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
// 用右子树最小的节点替换 root 节点
minNode.left = root.left;
minNode.right = root.right;
root = minNode;

可能会疑惑，替换 root 节点为什么这么麻烦，直接改 val 字段不就行了？看起来还更简洁易懂：

// 处理情况 3
// 获得右子树最小的节点
TreeNode minNode = getMin(root.right);
// 删除右子树最小的节点
root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
// 用右子树最小的节点替换 root 节点

仅对于这道算法题来说是可以的，但这样操作并不完美，我们一般不会通过修改节点内部的值来交换节点。因为在实际应用中，BST 节点内部的数据域是用户自定义的，可以非常复杂，而 BST 作为数据结构（一个工具人），其操作应该和内部存储的数据域解耦，所以我们更倾向于使用指针操作来交换节点，根本没必要关心内部数据。

总结

最后总结出了如下几个技巧：
1、如果当前节点会对下面的子节点有整体影响，可以通过辅助函数增长参数列表，借助参数传递信息。
2、在二叉树递归框架之上，扩展出一套 BST 代码框架：

BST框架

void BST(TreeNode root, int target) {
    if (root.val == target)
        // 找到目标，做点什么
    if (root.val < target) 
        BST(root.right, target);
    if (root.val > target)
        BST(root.left, target);
}

Leetcode刷题记录

基操篇(450、700、701、98)