蒙特卡罗方法(Monte Carlo method)

蒙特卡罗方法是由冯诺依曼和乌拉姆等人发明的，“蒙特卡罗”这个名字是出自摩纳哥的蒙特卡罗赌场，这个方法是一类基于概率的方法的统称，不是特指一种方法。与它对应的是确定性算法。
蒙特卡罗方法也称为统计模拟方法，是指使用随机数（或者更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。工作原理就是：不断抽样、逐渐逼近。

通常蒙特卡罗方法可以粗略地分成两类：

一类是所求解的问题本身具有内在的随机性，借助计算机的运算能力可以直接模拟这种随机的过程。

另一种类型是所求解问题可以转化为某种随机分布的特征数，比如随机事件出现的概率，或者随机变量的期望值。

求π

image.png

r=1
s=πr2=π

如图所示，有一个半径为r=1的圆和边长为1的正方形

圆的面积为：s=πr2=π
正方形的面积s正=1
正方形内相切圆的面积为整个圆的¼，即蒙特卡罗法 - 图2

然后我们向正方形中随机打点，就会有一定的概率落在圆中：
image.png

所以我们就认为 点 落入圆弧内部的概率=圆弧的面积/正方形的面积
=π/4/1
=π/4

π=落入圆弧内部的概率*4

  1. #π=概率*4
  2. #1.打点
  4. import random
  7. total=[5,100,1000,10000,100000,5000000]#总共的点数
  10. for i in total:
  11.     in_count = 0  # 在圆内部点的数量
  12.     for j in range(i):
  13.         x = random.random()  # 从x=0，y=0遍历生成随机数random是0~1
  14.         y = random.random()
  15.         dis=(x**2+y**2)**0.5# 点到圆心的距离 根号下x^2+y^2
  17.         if dis<=1:
  18.             in_count+=1
  20.     print("π是：{0}".format(4*in_count/j))

image.png

当点数越多，那么越接近于π值

计算不规则图形面积

比如下面这张黑底图片，想要计算图中白色图形的面积，其中图形都是不规则图形，我们没办法通过边长公式等进行计算，其中一种方法就是可以通过蒙特卡罗方法，向图上随机打点，然后获取像素点所在的颜色，白色面积=白色点数/总点数*图片总面积（当然其实可以用计算机遍历所有像素点也可以求，但这里主要用来说明蒙特卡罗思想的方法）
image.png

  1. from PIL import Image
  2. import random
  3. img = Image.open('monte.png')  #读取图片
  4. total = [10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 5000000]  #随机点数
  5. for t in total:
  6.     in_count = 0
  7.     for i in range(t):
  8.         x = random.randint(0, img.width-1)
  9.         y = random.randint(0, img.height-1)
  10.         if img.getpixel((x,y))==(255,255,255,255):   #数据输出格式：(R, G, B, A)
  11.             in_count += 1
  12.     print(t,'个随机点时，白色面积为：', int(img.width*img.height*in_count/t))

参考如下：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/369099011