配对矩阵，类别以及核函数

.. _metrics:

配对矩阵，类别以及核函数

:mod:sklearn.metrics.pairwise 子模块实现了用于评估成对距离或样本集合之间的联系的实用程序。

本模块同时包含距离度量和核函数，对于这两者这里提供一个简短的总结。

距离度量是形如 d(a, b) 的函数，如果目标 a 和 b 被认为 “更加相似” 相比目标 a 和 c，那么 d(a, b) < d(a, c)。两个完全相同的目标的距离是零。最广泛使用的例子就是欧几里得距离。为保证是 ‘真实’ 的度量，其必须满足以下条件::

1. 对于所有的 a 和 b，d(a, b) >= 0, 
2. 正定性：当且仅当 a = b时，d(a, b) == 0
3. 对称性：d(a, b) == d(b, a)
4. 三角不等式：d(a, c) <= d(a, b) + d(b, c)

核函数是相似度的标准，即如果目标 a 和 b 相比 a 和 c“更加相似”，那么s(a, b) > s(a, c)。核函数必须是半正定性的。

存在许多种方法将距离度量转换为相似度标准，例如核函数。假定D是距离，并且S是核函数:

1. ``S = np.exp(-D * gamma)``, 其中``gamma`` 的一种选择是``1 / num_features``
2. ``S = 1. / (D / np.max(D))``

.. currentmodule:: sklearn.metrics.pairwise

.. _cosine_similarity:

余弦相似度

:func:cosine_similarity 计算L2正则化的向量的点积。也就是说，如果 :math:x 和 :math:y 都是行向量, 它们的余弦相似度 :math:k 定义为:

.. math::

k(x, y) = \frac{x y^\top}{\|x\| \|y\|}

这被称为余弦相似度，因为欧几里得(L2) 正则化将向量投影到单元球内，那么它们的点积就是被向量表示的点之间的角度。

这种核函数对于计算以tf-idf向量表示的文档之间的相似度是一个通常的选择。 :func:cosine_similarity 接受 scipy.sparse 矩阵. (注意到sklearn.feature_extraction.text中的tf-idf函数能计算归一化的向量，在这种情况下 :func:cosine_similarity 等同于 :func:linear_kernel，只是慢一点而已。)

.. topic:: References:

* C.D. Manning, P. Raghavan and H. Schütze (2008). Introduction to
  Information Retrieval. Cambridge University Press.
  http://nlp.stanford.edu/IR-book/html/htmledition/the-vector-space-model-for-scoring-1.html

.. _linear_kernel:

线性核函数

函数 :func:linear_kernel 计算线性核函数，也就是一种在 degree=1 和 coef0=0 (同质化) 情况下的 :func:polynomial_kernel 的特殊形式。如果 x and y 是列向量，它们的线性核函数是:

.. math::

k(x, y) = x^\top y

.. _polynomial_kernel:

多项式核函数

函数 :func:polynomial_kernel 计算两个向量的d次方的多项式核函数。多项式核函数代表着两个向量之间的相似度。概念上来说，多项式核函数不仅考虑相同维度还考虑跨维度的向量的相似度。当被用在机器学习中的时候，这可以原来代表着特征之间的相互作用。

多项式函数定义为:

.. math::

k(x, y) = (\gamma x^\top y +c_0)^d

其中:

* ``x``, ``y`` 是输入向量
* ``d`` 核函数维度

如果 :math:c_0 = 0 那么核函数就被定义为同质化的。

.. _sigmoid_kernel:

S型核函数

函数 :func:sigmoid_kernel 计算两个向量之间的S型核函数。 S型核函数也被称为双曲切线或者多层感知机(因为在神经网络领域，它经常被当做激活函数). S型核函数定义为:

.. math::

k(x, y) = \tanh( \gamma x^\top y + c_0)

其中:

* ``x``, ``y`` 是输入向量
* :math:`\gamma` 是斜度
* :math:`c_0` 是截距

.. _rbf_kernel:

RBF核函数

函数 :func:rbf_kernel 计算计算两个向量之间的径向基函数核 (RBF) 。其定义为:

.. math::

k(x, y) = \exp( -\gamma \| x-y \|^2)

其中 x 和 y 是输入向量。如果 :math:\gamma = \sigma^{-2} 核函数就变成方差为 :math:\sigma^2 的高斯核函数。

.. _laplacian_kernel:

拉普拉斯核函数

函数 :func:laplacian_kernel 是一种径向基函数核的变体，定义为:

.. math::

k(x, y) = \exp( -\gamma \| x-y \|_1)

其中 x and y 是输入向量并且 :math:\|x-y\|_1 是输入向量之间的曼哈顿距离。

已被证明在机器学习中运用到无噪声数据中是有用的。可见例如 Machine learning for quantum mechanics in a nutshell <http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/qua.24954/abstract/>_.

.. _chi2_kernel:

卡方核函数

在计算机视觉应用中训练非线性支持向量机时，卡方核函数是一种非常流行的选择。它能以 :func:chi2_kernel 计算然后以参数 kernel="precomputed"传递到 :class:sklearn.svm.SVC ::

>>> from sklearn.svm import SVC
>>> from sklearn.metrics.pairwise import chi2_kernel
>>> X = [[0, 1], [1, 0], [.2, .8], [.7, .3]]
>>> y = [0, 1, 0, 1]
>>> K = chi2_kernel(X, gamma=.5)
>>> K                        # doctest: +ELLIPSIS
array([[ 1.        ,  0.36...,  0.89...,  0.58...],
       [ 0.36...,  1.        ,  0.51...,  0.83...],
       [ 0.89...,  0.51...,  1.        ,  0.77... ],
       [ 0.58...,  0.83...,  0.77... ,  1.        ]])
>>> svm = SVC(kernel='precomputed').fit(K, y)
>>> svm.predict(K)
array([0, 1, 0, 1])

也可以直接使用 kernel 变量::

>>> svm = SVC(kernel=chi2_kernel).fit(X, y)
>>> svm.predict(X)
array([0, 1, 0, 1])

卡方核函数定义为

.. math::

    k(x, y) = \exp \left (-\gamma \sum_i \frac{(x[i] - y[i]) ^ 2}{x[i] + y[i]} \right )

数据假定为非负的，并且已经以L1正则化。归一化随着与卡方平方距离的连接而被合理化，其是离散概率分布之间的距离。

卡方核函数最常用于可视化词汇的矩形图。

.. topic:: References:

* Zhang, J. and Marszalek, M. and Lazebnik, S. and Schmid, C.
  Local features and kernels for classification of texture and object
  categories: A comprehensive study
  International Journal of Computer Vision 2007
  http://research.microsoft.com/en-us/um/people/manik/projects/trade-off/papers/ZhangIJCV06.pdf