1. %matplotlib inline
  2. from IPython import display
  3. from matplotlib import pyplot as plt
  4. from mxnet import autograd, nd
  5. import random

生成数据集

我们构造一个简单的人工训练数据集，它可以使我们能够直观比较学到的参数和真实的模型参数的区别。设训练数据集样本数为1000，输入个数（特征数）为2。给定随机生成的批量样本特征线性回归的从零开始实现 - 图1 ，我们使用线性回归模型真实权重 𝑤=[2,−3.4]⊤ 和偏差 𝑏=4.2 ，以及一个随机噪声项 𝜖 来生成标签

线性回归的从零开始实现 - 图2,

其中噪声项 𝜖 服从均值为0、标准差为0.01的正态分布。噪声代表了数据集中无意义的干扰。下面，让我们生成数据集。

  1. num_inputs = 2
  2. num_examples = 1000
  3. true_w = [2, -3.4]
  4. true_b = 4.2
  5. features = nd.random.normal(scale=1, shape=(num_examples, num_inputs))
  6. labels = true_w[0]  features[:, 0] + true_w[1]  features[:, 1] + true_b
  7. labels += nd.random.normal(scale=0.01, shape=labels.shape)

注意，features的每一行是一个长度为2的向量，而labels的每一行是一个长度为1的向量（标量）。

  1. features[0], labels[0]
  1. (
  2. [2.2122064 0.7740038]
  3. <NDArray 2 @cpu(0)>,
  4. [6.000587]
  5. <NDArray 1 @cpu(0)>)

通过生成第二个特征features[:, 1]和标签 labels 的散点图，可以更直观地观察两者间的线性关系。

  1. def use_svg_display():
  2. # 用矢量图显示
  3. display.set_matplotlib_formats('svg')
  6. def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):
  7. use_svg_display()
  8. # 设置图的尺寸
  9. plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize
  12. set_figsize()
  13. plt.scatter(features[:, 1].asnumpy(), labels.asnumpy(), 1);  # 加分号只显示图

我们将上面的plt作图函数以及use_svg_display函数和set_figsize函数定义在d2lzh包里。以后在作图时，我们将直接调用d2lzh.plt。由于plt在d2lzh包中是一个全局变量，我们在作图前只需要调用d2lzh.set_figsize()即可打印矢量图并设置图的尺寸。

读取数据集

在训练模型的时候，我们需要遍历数据集并不断读取小批量数据样本。这里我们定义一个函数：它每次返回batch_size（批量大小）个随机样本的特征和标签。

  1. 本函数已保存在d2lzh包中方便以后使用
  2. def data_iter(batch_size, features, labels):
  3.     num_examples = len(features)
  4.     indices = list(range(num_examples))
  5.     random.shuffle(indices)  # 样本的读取顺序是随机的
  6.     for i in range(0, num_examples, batch_size):
  7.         j = nd.array(indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
  8.         yield features.take(j), labels.take(j)  # take函数根据索引返回对应元素

让我们读取第一个小批量数据样本并打印。每个批量的特征形状为(10, 2)，分别对应批量大小和输入个数；标签形状为批量大小。

  1. batch_size = 10
  2. for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
  3.     print(X, y)    
  4.     break
  1. [[-0.55628717 -0.8887248 ]
  2. [ 0.4231157   0.64803934]
  3. [ 1.1353118   0.99125063]
  4. [-0.42033488  0.00315201]
  5. [ 0.18006966 -2.0615053 ]
  6. [-0.67561793 -0.19601601]
  7. [ 0.2252111   0.39197713]
  8. [-0.4090584   1.5736328 ]
  9. [ 0.9561315  -0.8629183 ]
  10. [-0.68310064 -1.6095977 ]]
  11. <NDArray 10x2 @cpu(0)>
  12. [ 6.114553   2.8509607  3.1042643  3.3491418 11.573206   3.4998066
  13. 3.309858  -1.9611241  9.049869   8.310145 ]
  14. <NDArray 10 @cpu(0)>

初始化模型参数

我们将权重初始化成均值为0、标准差为0.01的正态随机数，偏差则初始化成0。

  1. w = nd.random.normal(scale=0.01, shape=(num_inputs, 1))
  2. b = nd.zeros(shape=(1,))

之后的模型训练中，需要对这些参数求梯度来迭代参数的值，因此我们需要创建它们的梯度。

  1. w.attach_grad()
  2. b.attach_grad()

定义模型

下面是线性回归的矢量计算表达式的实现。我们使用dot函数做矩阵乘法。

  1. def linreg(X, w, b):  # 本函数已保存在d2lzh包中方便以后使用
  2.     return nd.dot(X, w) + b

定义损失函数

我们使用上一节描述的平方损失来定义线性回归的损失函数。在实现中，我们需要把真实值y变形成预测值y_hat的形状。以下函数返回的结果也将和y_hat的形状相同。

  1. def squared_loss(y_hat, y):  # 本函数已保存在d2lzh包中方便以后使用
  2.     return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

定义优化算法

以下的sgd函数实现了上一节中介绍的小批量随机梯度下降算法。它通过不断迭代模型参数来优化损失函数。这里自动求梯度模块计算得来的梯度是一个批量样本的梯度和。我们将它除以批量大小来得到平均值。

  1. def sgd(params, lr, batch_size):  # 本函数已保存在d2lzh包中方便以后使用
  2.     for param in params:
  3.         param[:] = param - lr * param.grad / batch_size

训练模型

在训练中，我们将多次迭代模型参数。在每次迭代中，我们根据当前读取的小批量数据样本（特征X和标签y），通过调用反向函数backward计算小批量随机梯度，并调用优化算法sgd迭代模型参数。由于我们之前设批量大小batch_size为10，每个小批量的损失l的形状为(10, 1)。回忆一下“自动求梯度”一节。由于变量l并不是一个标量，运行l.backward()将对l中元素求和得到新的变量，再求该变量有关模型参数的梯度。

在一个迭代周期（epoch）中，我们将完整遍历一遍data_iter函数，并对训练数据集中所有样本都使用一次（假设样本数能够被批量大小整除）。这里的迭代周期个数num_epochs和学习率lr都是超参数，分别设3和0.03。在实践中，大多超参数都需要通过反复试错来不断调节。虽然迭代周期数设得越大模型可能越有效，但是训练时间可能过长。我们会在后面“优化算法”一章中详细介绍学习率对模型的影响。

  1. lr = 0.03
  2. num_epochs = 3
  3. net = linreg
  4. loss = squared_loss
  6. for epoch in range(num_epochs):  # 训练模型一共需要num_epochs个迭代周期
  7.     # 在每一个迭代周期中，会使用训练数据集中所有样本一次（假设样本数能够被批量大小整除）。
  8.     # X和y分别是小批量样本的特征和标签
  9.     for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
  10.         with autograd.record():
  11.             l = loss(net(X, w, b), y)  # l是有关小批量X和y的损失
  12.         l.backward()  # 小批量的损失对模型参数求梯度
  13.         sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用小批量随机梯度下降迭代模型参数
  14.     train_l = loss(net(features, w, b), labels)
  15.     print('epoch %d, loss %f' % (epoch + 1, train_l.mean().asnumpy()))
  1. epoch 1, loss 0.040684
  2. epoch 2, loss 0.000154
  3. epoch 3, loss 0.000050

训练完成后，我们可以比较学到的参数和用来生成训练集的真实参数。它们应该很接近。

  1. true_w, w
  4. ([2, -3.4],
  5. [[ 2.0000029]
  6. [-3.3997254]]
  7. <NDArray 2x1 @cpu(0)>)
  1. true_b, b
  4. (4.2,
  5. [4.1996894]
  6. <NDArray 1 @cpu(0)>)

小结

可以看出，仅使用NDArray和autograd模块就可以很容易地实现一个模型。接下来，本书会在此基础上描述更多深度学习模型，并介绍怎样使用更简洁的代码（见下一节）来实现它们。