2.1 误差与过拟合
我们将学习器对样本的 为测试误差（test error）。
- 学习器在所有新样本上的误差称为泛化误差（generalization error）。
显然，我们希望得到的是在新样本上表现得很好的学习器，即泛化误差小的学习器。因此，我们应该让学习器尽可能地从训练集中学出普适性的“一般特征”，这样在遇到新样本时才能做出正确的判别。然而，当学习器把训练集学得“太好”的时候，即把一些训练样本的自身特点当做了普遍特征；同时也有学习能力不足的情况，即训练集的基本特征都没有学习出来。我们定义：
- 学习能力过强，以至于把训练样本所包含的不太一般的特性都学到了，称为：过拟合（overfitting）。
- 学习能太差，训练样本的一般性质尚未学好，称为：欠拟合（underfitting）。
可以得知：在过拟合问题中，训练误差十分小，但测试误差教大；在欠拟合问题中，训练误差和测试误差都比较大。目前，欠拟合问题比较容易克服，例如增加迭代次数等，但过拟合问题还没有十分好的解决方案，过拟合是机器学习面临的关键障碍。
2.2 评估方法
在现实任务中，我们往往有多种算法可供选择，那么我们应该选择哪一个算法才是最适合的呢？如上所述，我们希望得到的是泛化误差小的学习器，理想的解决方案是对模型的泛化误差进行评估，然后选择泛化误差最小的那个学习器。但是，泛化误差指的是模型在所有新样本上的适用能力，我们无法直接获得泛化误差。
因此，通常我们采用一个“测试集”来测试学习器对新样本的判别能力，然后以“测试集”上的“测试误差”作为“泛化误差”的近似。显然：我们选取的测试集应尽可能与训练集互斥，下面用一个小故事来解释why：
假设老师出了10 道习题供同学们练习，考试时老师又用同样的这10道题作为试题，可能有的童鞋只会做这10 道题却能得高分，很明显：这个考试成绩并不能有效地反映出真实水平。回到我们的问题上来，我们希望得到泛化性能好的模型，好比希望同学们课程学得好并获得了对所学知识”举一反三”的能力；训练样本相当于给同学们练习的习题，测试过程则相当于考试。显然，若测试样本被用作训练了，则得到的将是过于”乐观”的估计结果。
2.2 训练集与测试集的划分方法
如上所述：我们希望用一个“测试集”的“测试误差”来作为“泛化误差”的近似，因此我们需要对初始数据集进行有效划分，划分出互斥的“训练集”和“测试集”。下面介绍几种常用的划分方法：
2.2.1 留出法
将数据集D划分为两个互斥的集合，一个作为训练集S，一个作为测试集T，满足D=S∪T且S∩T=∅，常见的划分为：大约2/3-4/5的样本用作训练，剩下的用作测试。需要注意的是：训练/测试集的划分要尽可能保持数据分布的一致性，以避免由于分布的差异引入额外的偏差，常见的做法是采取分层抽样。同时，由于划分的随机性，单次的留出法结果往往不够稳定，一般要采用若干次随机划分，重复实验取平均值的做法。
2.2.2 交叉验证法
将数据集D划分为k个大小相同的互斥子集，满足D=D1∪D2∪…∪Dk，Di∩Dj=∅（i≠j），同样地尽可能保持数据分布的一致性，即采用分层抽样的方法获得这些子集。交叉验证法的思想是：每次用k-1个子集的并集作为训练集，余下的那个子集作为测试集，这样就有K种训练集/测试集划分的情况，从而可进行k次训练和测试，最终返回k次测试结果的均值。交叉验证法也称“k折交叉验证”，k最常用的取值是10，下图给出了10折交叉验证的示意图。
与留出法类似，将数据集D划分为K个子集的过程具有随机性，因此K折交叉验证通常也要重复p次，称为p次k折交叉验证，常见的是10次10折交叉验证，即进行了100次训练/测试。特殊地当划分的k个子集的每个子集中只有一个样本时，称为“留一法”，显然，留一法的评估结果比较准确，但对计算机的消耗也是巨大的。
2.2.3 自助法
我们希望评估的是用整个D训练出的模型。但在留出法和交叉验证法中，由于保留了一部分样本用于测试，因此实际评估的模型所使用的训练集比D小，这必然会引入一些因训练样本规模不同而导致的估计偏差。留一法受训练样本规模变化的影响较小，但计算复杂度又太高了。“自助法”正是解决了这样的问题。
自助法的基本思想是：给定包含m个样本的数据集D，每次随机从D 中挑选一个样本，将其拷贝放入D’，然后再将该样本放回初始数据集D 中，使得该样本在下次采样时仍有可能被采到。重复执行m 次，就可以得到了包含m个样本的数据集D’。可以得知在m次采样中，样本始终不被采到的概率取极限为：
这样，通过自助采样，初始样本集D中大约有36.8%的样本没有出现在D’中，于是可以将D’作为训练集，D-D’作为测试集。自助法在数据集较小，难以有效划分训练集/测试集时很有用，但由于自助法产生的数据集（随机抽样）改变了初始数据集的分布，因此引入了估计偏差。在初始数据集足够时，留出法和交叉验证法更加常用。
2.2.4 调参
大多数学习算法都有些参数(parameter) 需要设定，参数配置不同，学得模型的性能往往有显著差别，这就是通常所说的”参数调节”或简称”调参” (parameter tuning)。
学习算法的很多参数是在实数范围内取值，因此，对每种参数取值都训练出模型来是不可行的。常用的做法是：对每个参数选定一个范围和步长λ，这样使得学习的过程变得可行。例如：假定算法有3 个参数，每个参数仅考虑5 个候选值，这样对每一组训练/测试集就有5_5_5= 125 个模型需考察，由此可见：拿下一个参数（即经验值）对于算法人员来说是有多么的happy。
最后需要注意的是：当选定好模型和调参完成后，我们需要使用初始的数据集D重新训练模型，即让最初划分出来用于评估的测试集也被模型学习，增强模型的学习效果。用上面考试的例子来比喻：就像高中时大家每次考试完，要将考卷的题目消化掉（大多数题目都还是之前没有见过的吧？），这样即使考差了也能开心的玩耍了~。
2.3 性能度量
性能度量（performance measure）是衡量模型泛化能力的评价标准，在对比不同模型的能力时，使用不同的性能度量往往会导致不同的评判结果。本节除2.5.1外，其它主要介绍分类模型的性能度量。
2.3.1 最常见的性能度量（错误率、精度）
在回归任务中，即预测连续值的问题，最常用的性能度量是“均方误差”（mean squared error）,很多的经典算法都是采用了MSE作为评价函数，想必大家都十分熟悉。
在分类任务中，即预测离散值的问题，最常用的是错误率和精度，错误率是分类错误的样本数占样本总数的比例，精度则是分类正确的样本数占样本总数的比例，易知：错误率+精度=1。
2.3.2 查准率（准确率）/查全率（召回率）/F1
错误率和精度虽然常用，但不能满足所有的需求，例如：在推荐系统中，我们只关心推送给用户的内容用户是否感兴趣（即查准率），或者说所有用户感兴趣的内容我们推送出来了多少（即查全率）。因此，使用查准/查全率更适合描述这类问题。对于二分类问题，分类结果混淆矩阵与查准/查全率定义如下：
初次接触时，FN与FP很难正确的理解，按照惯性思维容易把FN理解成：False->Negtive，即将错的预测为错的，这样FN和TN就反了，后来找到一张图，描述得很详细，为方便理解，把这张图也贴在了下边：
正如天下没有免费的午餐，查准率和查全率是一对矛盾的度量。例如我们想让推送的内容尽可能用户全都感兴趣，那只能推送我们把握高的内容，这样就漏掉了一些用户感兴趣的内容，查全率就低了；如果想让用户感兴趣的内容都被推送，那只有将所有内容都推送上，宁可错杀一千，不可放过一个，这样查准率就很低了。
“P-R曲线”正是描述查准/查全率变化的曲线，P-R曲线定义如下：根据学习器的预测结果（一般为一个实值或概率）对测试样本进行排序，将最可能是“正例”的样本排在前面，最不可能是“正例”的排在后面，按此顺序逐个把样本作为“正例”进行预测，每次计算出当前的P值和R值，如下图所示：
P-R曲线如何评估呢？若一个学习器A的P-R曲线被另一个学习器B的P-R曲线完全包住，则称：B的性能优于A。若A和B的曲线发生了交叉，则谁的曲线下的面积大，谁的性能更优。但一般来说，曲线下的面积是很难进行估算的，所以衍生出了“平衡点”（Break-Event Point，简称BEP），即当P=R时的取值，平衡点的取值越高，性能更优。
P和R指标有时会出现矛盾的情况，这样就需要综合考虑他们，最常见的方法就是F-Measure，又称F-Score。F-Measure是P和R的加权调和平均，即：
特别地，当β=1时，也就是常见的F1度量，是P和R的调和平均，当F1较高时，模型的性能越好。
有时候我们会有多个二分类混淆矩阵，例如：多次训练或者在多个数据集上训练，那么估算全局性能的方法有两种，分为宏观和微观。简单理解，宏观就是先算出每个混淆矩阵的P值和R值，然后取得平均P值macro-P和平均R值macro-R，在算出Fβ或F1，而微观则是计算出混淆矩阵的平均TP、FP、TN、 FN，接着进行计算P、R，进而求出Fβ或F1。
2.3.3 ROC与AUC
如上所述：学习器对测试样本的评估结果一般为一个实值或概率，设定一个阈值，大于阈值为正例，小于阈值为负例，因此这个实值的好坏直接决定了学习器的泛化性能，若将这些实值排序，则排序的好坏决定了学习器的性能高低。ROC曲线正是从这个角度出发来研究学习器的泛化性能，ROC曲线与P-R曲线十分类似，都是按照排序的顺序逐一按照正例预测，不同的是ROC曲线以“真正例率”（True Positive Rate，简称TPR）为横轴，纵轴为“假正例率”（False Positive Rate，简称FPR），ROC偏重研究基于测试样本评估值的排序好坏。
简单分析图像，可以得知：当FN=0时，TN也必须0，反之也成立，我们可以画一个队列，试着使用不同的截断点（即阈值）去分割队列，来分析曲线的形状，（0,0）表示将所有的样本预测为负例，（1,1）则表示将所有的样本预测为正例，（0,1）表示正例全部出现在负例之前的理想情况，（1,0）则表示负例全部出现在正例之前的最差情况。限于篇幅，这里不再论述。
现实中的任务通常都是有限个测试样本，因此只能绘制出近似ROC曲线。绘制方法：首先根据测试样本的评估值对测试样本排序，接着按照以下规则进行绘制。
同样地，进行模型的性能比较时，若一个学习器A的ROC曲线被另一个学习器B的ROC曲线完全包住，则称B的性能优于A。若A和B的曲线发生了交叉，则谁的曲线下的面积大，谁的性能更优。ROC曲线下的面积定义为AUC（Area Uder ROC Curve），不同于P-R的是，这里的AUC是可估算的，即AOC曲线下每一个小矩形的面积之和。易知：AUC越大，证明排序的质量越好，AUC为1时，证明所有正例排在了负例的前面，AUC为0时，所有的负例排在了正例的前面。
2.5.4 代价敏感错误率与代价曲线
上面的方法中，将学习器的犯错同等对待，但在现实生活中，将正例预测成假例与将假例预测成正例的代价常常是不一样的，例如：将无疾病—>有疾病只是增多了检查，但有疾病—>无疾病却是增加了生命危险。以二分类为例，由此引入了“代价矩阵”（cost matrix）。
在非均等错误代价下，我们希望的是最小化“总体代价”，这样“代价敏感”的错误率（2.5.1节介绍）为：
同样对于ROC曲线，在非均等错误代价下，演变成了“代价曲线”，代价曲线横轴是取值在[0,1]之间的正例概率代价，式中p表示正例的概率，纵轴是取值为[0,1]的归一化代价。
代价曲线的绘制很简单：设ROC曲线上一点的坐标为(TPR，FPR) ，则可相应计算出FNR，然后在代价平面上绘制一条从(0，FPR) 到(1，FNR) 的线段，线段下的面积即表示了该条件下的期望总体代价；如此将ROC 曲线土的每个点转化为代价平面上的一条线段，然后取所有线段的下界，围成的面积即为在所有条件下学习器的期望总体代价，如图所示：
##2.6 比较检验
在比较学习器泛化性能的过程中，统计假设检验（hypothesis test）为学习器性能比较提供了重要依据，即若A在某测试集上的性能优于B，那A学习器比B好的把握有多大。 为方便论述，本篇中都是以“错误率”作为性能度量的标准。
###2.6.1 假设检验
“假设”指的是对样本总体的分布或已知分布中某个参数值的一种猜想，例如：假设总体服从泊松分布，或假设正态总体的期望u=u0。回到本篇中，我们可以通过测试获得测试错误率，但直观上测试错误率和泛化错误率相差不会太远，因此可以通过测试错误率来推测泛化错误率的分布，这就是一种假设检验。
###2.6.2 交叉验证t检验
###2.6.3 McNemar检验
MaNemar主要用于二分类问题，与成对t检验一样也是用于比较两个学习器的性能大小。主要思想是：若两学习器的性能相同，则A预测正确B预测错误数应等于B预测错误A预测正确数，即e01=e10，且|e01-e10|服从N（1，e01+e10）分布。
因此，如下所示的变量服从自由度为1的卡方分布，即服从标准正态分布N（0,1）的随机变量的平方和，下式只有一个变量，故自由度为1，检验的方法同上：做出假设—>求出满足显著度的临界点—>给出拒绝域—>验证假设。
###2.6.4 Friedman检验与Nemenyi后续检验
上述的三种检验都只能在一组数据集上，F检验则可以在多组数据集进行多个学习器性能的比较，基本思想是在同一组数据集上，根据测试结果（例：测试错误率）对学习器的性能进行排序，赋予序值1,2,3…，相同则平分序值，如下图所示：
若学习器的性能相同，则它们的平均序值应该相同，且第i个算法的平均序值ri服从正态分布N（（k+1）/2，（k+1）(k-1)/12），则有：
服从自由度为k-1和(k-1)(N-1)的F分布。下面是F检验常用的临界值：
若“H0：所有算法的性能相同”这个假设被拒绝，则需要进行后续检验，来得到具体的算法之间的差异。常用的就是Nemenyi后续检验。Nemenyi检验计算出平均序值差别的临界值域，下表是常用的qa值，若两个算法的平均序值差超出了临界值域CD，则相应的置信度1-α拒绝“两个算法性能相同”的假设。
##2.7 偏差与方差
偏差-方差分解是解释学习器泛化性能的重要工具。在学习算法中，偏差指的是预测的期望值与真实值的偏差，方差则是每一次预测值与预测值得期望之间的差均方。实际上，偏差体现了学习器预测的准确度，而方差体现了学习器预测的稳定性。通过对泛化误差的进行分解，可以得到：
- 期望泛化误差=方差+偏差
- 偏差刻画学习器的拟合能力
- 方差体现学习器的稳定性
易知：方差和偏差具有矛盾性，这就是常说的偏差-方差窘境（bias-variance dilamma），随着训练程度的提升，期望预测值与真实值之间的差异越来越小，即偏差越来越小，但是另一方面，随着训练程度加大，学习算法对数据集的波动越来越敏感，方差值越来越大。换句话说：在欠拟合时，偏差主导泛化误差，而训练到一定程度后，偏差越来越小，方差主导了泛化误差。因此训练也不要贪杯，适度辄止。
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