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背包问题

01背包问题

引例

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。 第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。 求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。 接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

00

输入样例

4 5 1 2 2 4 3 4 4 5

输出样例：

8

1. 状态 f[i, j] 定义：从前 i 个物品中选，背包容量为 j 条件下，所有选法中的最大价值
2. 两种情况
   1. 当前背包的容量装不下第 i 个物品 j < v[i] —> f[i][j] = f[i - 1][j]
   2. 当前背包的容量装得下第 i 个物品
      1. 不装第 i 个物品 —> f[i][j] = f[i - 1][j]
      2. 装第 i 个物品 —> f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]

这里 f[i][j] 并不好直接求，但我们可以换一种思路
先求 从前 i - 1 件物品中选，总容量不超过 j - v[i] 的所有选法中的最大价值，而 f[i - 1][j - v[i]]在之前就已经计算过了，再加上第 i 件物品的价值即可。
综上，状态转移方程为 f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i])。

// 朴素做法
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main() {
    cin >> n >> m;
    // 读入第i件物品的 体积 和 价值
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j]; // 不选第i个物品
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]); // 选第i个物品
        }
    // 由f的定义知
    // f[n][m] 表示的是 从前n个物品中选择，总体积不超过m的选法集合中，总价值最高的
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

朴素做法能否优化呢?答案是肯定的。
考虑这个事实：在求 f[i][j] 时，只用到了 f[i - 1][j] 和 f[i - 1][j - v] + w。也就是说当求第 i 层的状态时，只用到了 i - 1 层的状态，我们无需存储 i - 1 层之前的状态，因此可以使用滚动数组存储当前状态和上一层状态。
当 j < v[i] 时 内层for循环体并不会执行，因此只需遍历 v[i] ~ m即可，这样 if 判断也可以砍掉。
为什么要倒序遍历 j(从 m 到 v[i]) 呢？
注意到 j - v 严格小于 j，因此如果正序遍历 j 的话，j - v 会 先于 j 被更新。这意味着f[j - v] 里存着的是第 i 层的状态，第 i - 1层的状态被抹去了。而我们的状态转移方程是 f[i, j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v] + w)，

for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = m; j >= v[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

// 一维优化

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main() {

    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = m; j >= v[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

完全背包问题

// 朴素做法

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main() {

    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = v[i]; j <= m; j++)
            for (int k = 0; k * v[i] <= j; k++)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

// 三层循环优化

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main() {

    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j -v[i]] + w[i]);
        }
        // 通过观察 f[i][j] 和 f[i][j - v]可以推出
        // f[i][j] 只和 f[i - 1][j] 以及 f[i][j - v] 有关
        // 这样就不需要枚举每个物品选几次了
        // 现在没空，有时间再详细写

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

// 一维优化

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main() {

    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = v[i]; j <= m; j++)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

多重背包问题

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