首先，老规矩：

未经允许禁止转载(防止某些人乱转，转着转着就到蛮牛之类的地方去了)

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【概率论】：

第一章：

  • 随机事件的概率

第二章：

  • 一维随机变量的概率分布
  • 一维随机变量的概率和的分布

第三章：

  • 二维随机变量的概率分布
  • 二维随机变量的概率和的分布

第四章：

  • 随机变量的数字特征

第五章：

  • 【数理统计】

概率论

Chapter 1.

五大公式：

  • 加法公式 （机器学习）概率论基础 - 图1%3Dp(A)%2Bp(B)-p(AB)%0A#card=math&code=p%28A%5Ccup%20B%29%3Dp%28A%29%2Bp%28B%29-p%28AB%29%0A)
  • 减法公式 （机器学习）概率论基础 - 图2%3Dp(A%5Cbar%20B)%3Dp(A)-p(AB)%0A#card=math&code=p%28A-B%29%3Dp%28A%5Cbar%20B%29%3Dp%28A%29-p%28AB%29%0A)
  • 乘法公式 （机器学习）概率论基础 - 图3%3Dp(A%7CB)p(B)%3Dp(B%7CA)p(A)%0A#card=math&code=p%28AB%29%3Dp%28A%7CB%29p%28B%29%3Dp%28B%7CA%29p%28A%29%0A)

其中：

（机器学习）概率论基础 - 图4%3D%5Cfrac%7Bp(AB)%7D%7Bp(B)%7D%0A#card=math&code=p%28A%7CB%29%3D%5Cfrac%7Bp%28AB%29%7D%7Bp%28B%29%7D%0A)

如果 （机器学习）概率论基础 - 图5%3Dp(A)#card=math&code=p%28A%7CB%29%3Dp%28A%29)，则 AB 相互独立：

（机器学习）概率论基础 - 图6%3Dp(A)p(B)%0A#card=math&code=p%28AB%29%3Dp%28A%29p%28B%29%0A)

（机器学习）概率论基础 - 图7 互斥：（机器学习）概率论基础 - 图8

（机器学习）概率论基础 - 图9 对立：（机器学习）概率论基础 - 图10 即 （机器学习）概率论基础 - 图11

  • 全概率公式 （机器学习）概率论基础 - 图12%26%3Dp(AB_1)%2Bp(AB_2)%5C%5C%0A%26%3Dp(A%7CB_1)p(B_1)%2Bp(A%7CB_2)p(B_2)%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0Ap%28A%29%26%3Dp%28AB_1%29%2Bp%28AB_2%29%5C%5C%0A%26%3Dp%28A%7CB_1%29p%28B_1%29%2Bp%28A%7CB_2%29p%28B_2%29%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A)
  • 贝叶斯公式 （机器学习）概率论基础 - 图13%3D%5Cfrac%7Bp(A%7CB_2)p(B_2)%7D%7Bp(A%7CB_1)p(B_1)%2Bp(A%7CB_2)p(B_2)%7D%0A#card=math&code=p%28B_2%7CA%29%3D%5Cfrac%7Bp%28A%7CB_2%29p%28B_2%29%7D%7Bp%28A%7CB_1%29p%28B_1%29%2Bp%28A%7CB_2%29p%28B_2%29%7D%0A)

注意：

  • 不可能事件，概率一定是0，概率是0的事件，不一定是不可能事件

  • 必然事件，概率一定是1，概率是1的事件，不一定是必然事件

【例1】（机器学习）概率论基础 - 图14%3D0.8%2Cp(B)%3D0.4#card=math&code=P%28B%5Ccup%20A%29%3D0.8%2Cp%28B%29%3D0.4)，则 （机器学习）概率论基础 - 图15%3D%3F#card=math&code=P%28A%7C%5Cbar%20B%29%3D%3F)

（机器学习）概率论基础 - 图16%3D%5Cfrac%7BP(A%5Cbar%20B)%7D%7B1-P(B)%7D%0A#card=math&code=P%28A%7C%5Cbar%20B%29%3D%5Cfrac%7BP%28A%5Cbar%20B%29%7D%7B1-P%28B%29%7D%0A)

（机器学习）概率论基础 - 图17%3DP(A)%2BP(B)-P(AB)%3D0.8%0A#card=math&code=P%28B%5Ccup%20A%29%3DP%28A%29%2BP%28B%29-P%28AB%29%3D0.8%0A)

（机器学习）概率论基础 - 图18-P(AB)%3DP(A%5Cbar%20B)%3D0.4%0A#card=math&code=P%28A%29-P%28AB%29%3DP%28A%5Cbar%20B%29%3D0.4%0A)

得：

（机器学习）概率论基础 - 图19%3D%5Cfrac23#card=math&code=P%28A%7C%5Cbar%20B%29%3D%5Cfrac23)

【例2】

甲乙射击的命中率分别为0.6, 0.5。

(1) 甲乙两人独立射击目标，则两人中至少一人射中的概率为？

(2) 甲乙任选一人射击目标，则目标被甲射中的概率为？

(3) 甲乙两人独立射击目标，现已知目标被射中，则它是甲射中的概率为？

(4) 甲乙任选一人对同一目标射击一次，先已知目标被射中，则它是甲射中的概率为？

设 （机器学习）概率论基础 - 图20

设 （机器学习）概率论基础 - 图21

设 （机器学习）概率论基础 - 图22

(1)

法一正面做：

（机器学习）概率论基础 - 图23%26%3Dp(A_1)%2Bp(A_2)-p(A_1A_2)%5C%5C%0A%26%3D0.6%2B0.5-0.6*0.5%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0Ap%28A_1%5Ccup%20A_2%29%26%3Dp%28A_1%29%2Bp%28A_2%29-p%28A_1A_2%29%5C%5C%0A%26%3D0.6%2B0.5-0.6%2A0.5%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A)

法二反面做：

（机器学习）概率论基础 - 图24%3D1-0.4*0.5%0A#card=math&code=1-p%28%5Cbar%20A_1%5Cbar%20A_2%29%3D1-0.4%2A0.5%0A)

(2)

已知：

（机器学习）概率论基础 - 图25%3D0.6%2Cp(C%7CB_2)%3D0.5%0A#card=math&code=p%28C%7CB_1%29%3D0.6%2Cp%28C%7CB_2%29%3D0.5%0A)

则：

（机器学习）概率论基础 - 图26%3Dp(C%7CB_1)p(B_1)%3D0.6*0.5%0A#card=math&code=p%28CB_1%29%3Dp%28C%7CB_1%29p%28B_1%29%3D0.6%2A0.5%0A)

(3)

（机器学习）概率论基础 - 图27%0A#card=math&code=p%28A_1%7CA_1%5Ccup%20A_2%29%0A)

(4) 贝叶斯公式

（机器学习）概率论基础 - 图28%3D%5Cfrac%7Bp(C%7CB_1)p(B_1)%7D%7Bp(C%7CB_1)p(B_1)%2Bp(C%7CB_2)p(B_2)%7D%0A#card=math&code=p%28B_1%7CC%29%3D%5Cfrac%7Bp%28C%7CB_1%29p%28B_1%29%7D%7Bp%28C%7CB_1%29p%28B_1%29%2Bp%28C%7CB_2%29p%28B_2%29%7D%0A)

文字题的技巧：

  1. 正面做反面做（至多至少）

  2. 分清：积事件的概率，条件概率

  3. 分清：独立和不独立

Chapter 2.

密度函数：PDF。 某一区间上的积分来刻画随机变量落在这个区间中的概率

分布律：概率质量函数PMF。是离散型随机变量的分布

分布函数：CDF。PDF的积分，离散型或连续型均适用

1: 概率分布：（机器学习）概率论基础 - 图29 的关系

  • 离散型随机变量：（机器学习）概率论基础 - 图30 的一个表格
  • 连续型随机变量：（机器学习）概率论基础 - 图31#card=math&code=f%28x%29) ( pdf 函数)

2: 概率和分布：（机器学习）概率论基础 - 图32%3DP%5C%7BX%5Cle%20x%5C%7D#card=math&code=F%28x%29%3DP%5C%7BX%5Cle%20x%5C%7D) 的表达式，单调不减

  • 离散型随机变量：（机器学习）概率论基础 - 图33%3D%5Csum%7Bk%5Cle%20x%7DP(X%3Dk)#card=math&code=F%28x%29%3D%5Csum%7Bk%5Cle%20x%7DP%28X%3Dk%29) ( 阶梯状函数 )

  • 连续型随机变量：（机器学习）概率论基础 - 图34#card=math&code=F%28x%29) ( cdf函数 )

  • 概率不是可能性大小，概率是一个测度，它是用来测可能性大小的。
  • 离散型随机变量的分布函数，只右连续
  • 连续型随机变量的分布函数，左连续，且右连续

性质：

  • （机器学习）概率论基础 - 图35-F(a)#card=math&code=p%5C%7Ba%3CX%5Cle%20b%5C%7D%3DF%28b%29-F%28a%29)

  • （机器学习）概率论基础 - 图36-F(a%5E-)#card=math&code=p%5C%7BX%3Da%5C%7D%3Dp%5C%7BX%5Cle%20a%5C%7D-p%5C%7BX%3Ca%5C%7D%3DF%28a%29-F%28a%5E-%29)

  • X连续，（机器学习）概率论基础 - 图37dx#card=math&code=p%5C%7Ba%5Cle%20X%5Cle%20b%5C%7D%3Dp%5C%7Ba%3C%20X%3C%20b%5C%7D%3D%5Cint_a%5Ebf%28x%29dx)

  • X连续，（机器学习）概率论基础 - 图38 （连续型变量单点概率为0）

单点概率测不出来，不代表不可能发生，仅仅代表测不出来

Chapter 3.

联合分布：（机器学习）概率论基础 - 图39#card=math&code=P%28X%3Dx_i%3BY%3Dy_j%29)

边缘分布（离散）：（机器学习）概率论基础 - 图40#card=math&code=P%28X%3Dx_i%29) 2:46:30

边缘分布（连续）：

（机器学习）概率论基础 - 图41%3D%5Cint%7B-%5Cinfin%7D%5E%7B%2B%5Cinfin%7Df(x%2Cy)dx%0A#card=math&code=f%7BY%7D%28y%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfin%7D%5E%7B%2B%5Cinfin%7Df%28x%2Cy%29dx%0A)

条件分布：

（机器学习）概率论基础 - 图42%3D%5Cfrac%7Bf(x%2Cy)%7D%7BfY(y)%7D%0A#card=math&code=f%7BX%7CY%7D%28x%7Cy%29%3D%5Cfrac%7Bf%28x%2Cy%29%7D%7Bf_Y%28y%29%7D%0A)

即

（机器学习）概率论基础 - 图43

边缘不等于0

分布函数：

（机器学习）概率论基础 - 图44%3DP%5C%7BX%5Cle%20x%5C%7D%3D%5Clim%7By%5Crightarrow%2B%5Cinfin%7DP%5C%7BX%5Cle%20x%2CY%5Cle%20y%5C%7D%0A#card=math&code=F_X%28x%29%3DP%5C%7BX%5Cle%20x%5C%7D%3D%5Clim%7By%5Crightarrow%2B%5Cinfin%7DP%5C%7BX%5Cle%20x%2CY%5Cle%20y%5C%7D%0A)

若 （机器学习）概率论基础 - 图45%3DF_X(x)F_Y(y)#card=math&code=F%28x%2Cy%29%3DF_X%28x%29F_Y%28y%29)，则 （机器学习）概率论基础 - 图46 独立

充要条件：

  • 连续型：（机器学习）概率论基础 - 图47%3Df_X(x)f_Y(y)#card=math&code=f%28x%2Cy%29%3Df_X%28x%29f_Y%28y%29)

  • 离散型：（机器学习）概率论基础 - 图48

Chapter 4.

数学期望

  • 离散型

    • 一个随机变量： （机器学习）概率论基础 - 图49%3D%5Csum%5E%7B%2B%5Cinfin%7D%7Bi%3D1%7DP%5C%7BX%3Dx_i%5C%7D%0A#card=math&code=E%28X%29%3D%5Csum%5E%7B%2B%5Cinfin%7D%7Bi%3D1%7DP%5C%7BX%3Dx_i%5C%7D%0A)
  • 一个随机变量的函数： （机器学习）概率论基础 - 图50%5D%3D%5Csum%5E%7B%2B%5Cinfin%7D%7Bi%3D1%7Dg(x_i)P%5C%7BX%3Dx_i%5C%7D%0A#card=math&code=E%5Bg%28X%29%5D%3D%5Csum%5E%7B%2B%5Cinfin%7D%7Bi%3D1%7Dg%28x_i%29P%5C%7BX%3Dx_i%5C%7D%0A)
  • 两个随机变量的函数： （机器学习）概率论基础 - 图51%5D%3D%5Csum%5E%7B%2B%5Cinfin%7D%7Bj%3D1%7D%5Csum%5E%7B%2B%5Cinfin%7D%7Bi%3D1%7Dg(xi%2Cy_j)p%5C%7BX%3Dx_i%2CY%3Dy_j%5C%7D%0A#card=math&code=E%5Bg%28X%2CY%29%5D%3D%5Csum%5E%7B%2B%5Cinfin%7D%7Bj%3D1%7D%5Csum%5E%7B%2B%5Cinfin%7D_%7Bi%3D1%7Dg%28x_i%2Cy_j%29p%5C%7BX%3Dx_i%2CY%3Dy_j%5C%7D%0A)

  • 连续型

    • 一个随机变量： （机器学习）概率论基础 - 图52%3D%5Cint%7B-%5Cinfin%7D%5E%7B%2B%5Cinfin%7Dxf(x)dx%0A#card=math&code=E%28X%29%3D%5Cint%7B-%5Cinfin%7D%5E%7B%2B%5Cinfin%7Dxf%28x%29dx%0A)
  • 一个随机变量的函数： （机器学习）概率论基础 - 图53%5D%3D%5Cint%5E%7B%2B%5Cinfin%7D%7B-%5Cinfin%7Dg(x)f(x)dx%0A#card=math&code=E%5Bg%28x%29%5D%3D%5Cint%5E%7B%2B%5Cinfin%7D%7B-%5Cinfin%7Dg%28x%29f%28x%29dx%0A)
  • 两个随机变量的函数： （机器学习）概率论基础 - 图54%5D%3D%5Cint%5E%7B%2B%5Cinfin%7D%7B-%5Cinfin%7Ddx%5Cint%5E%7B%2B%5Cinfin%7D%7B-%5Cinfin%7Dg(xi%2Cy_j)f(x%2Cy)dy%0A#card=math&code=E%5Bg%28X%2CY%29%5D%3D%5Cint%5E%7B%2B%5Cinfin%7D%7B-%5Cinfin%7Ddx%5Cint%5E%7B%2B%5Cinfin%7D_%7B-%5Cinfin%7Dg%28x_i%2Cy_j%29f%28x%2Cy%29dy%0A)

方差

  • （机器学习）概率论基础 - 图55%3DE(X%5E2)-E%5E2(X)#card=math&code=D%28X%29%3DE%28X%5E2%29-E%5E2%28X%29)

协方差

  • （机器学习）概率论基础 - 图56%3DE(XY)-E(X)E(Y)#card=math&code=Cov%28X%2CY%29%3DE%28XY%29-E%28X%29E%28Y%29)

相关系数

  • （机器学习）概率论基础 - 图57%7D%7B%5Csqrt%7BD(X)%7D%5Csqrt%7BD(Y)%7D%7D#card=math&code=%5Crho_%7BXY%7D%3D%5Cfrac%7BCov%28X%2CY%29%7D%7B%5Csqrt%7BD%28X%29%7D%5Csqrt%7BD%28Y%29%7D%7D)

常用分布：见讲义（背下来）

指数分布改为 （机器学习）概率论基础 - 图58

对应的期望和方差为

  • （机器学习）概率论基础 - 图59
  • （机器学习）概率论基础 - 图60

  1. 二项分布的背景：伯努利试验：只有成功与失败两种可能结果的试验。成功的概率为p，做n次独立重复试验，X表示试验成功的次数，则X~B（机器学习）概率论基础 - 图61#card=math&code=%28n%2Cp%29)

  2. 正态分布（必考）

    1. X~N（机器学习）概率论基础 - 图62#card=math&code=%28%5Cmu%2C%5Csigma%5E2%29) ，则（机器学习）概率论基础 - 图63~N(0,1)即标准正态分布 （机器学习）概率论基础 - 图64-%5CPhi(%5Cfrac%7Ba-%5Cmu%7D%7B%5Csigma%7D)%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0AP%5C%7Ba%5Cle%20X%5Cle%20b%5C%7D%26%3DP%5C%7B%5Cfrac%7Ba-%5Cmu%7D%7B%5Csigma%7D%5Cle%5Cfrac%7BX-%5Cmu%7D%7B%5Csigma%7D%5Cle%5Cfrac%7Bb-%5Cmu%7D%7B%5Csigma%7D%5C%7D%5C%5C%0A%26%3D%5CPhi%28%5Cfrac%7Bb-%5Cmu%7D%7B%5Csigma%7D%29-%5CPhi%28%5Cfrac%7Ba-%5Cmu%7D%7B%5Csigma%7D%29%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A)

其中：

（机器学习）概率论基础 - 图65#card=math&code=%5CPhi%28X%29) 为标准正态分布函数（查表）

  1. 标准正态概率密度 （机器学习）概率论基础 - 图66#card=math&code=%5Cphi%28x%29) 图形是一个对称的凸型

  2. （机器学习）概率论基础 - 图67%3D1-%5CPhi(X)#card=math&code=%5CPhi%28-X%29%3D1-%5CPhi%28X%29)

  3. （机器学习）概率论基础 - 图68#card=math&code=%5CPhi%28X%29) 单调增

  4. （机器学习）概率论基础 - 图69%3D0.5#card=math&code=%5CPhi%280%29%3D0.5)

  1. 期望与方差的性质

    • （机器学习）概率论基础 - 图70%3Dc#card=math&code=E%28c%29%3Dc)，（机器学习）概率论基础 - 图71%3D0#card=math&code=D%28c%29%3D0)
    • （机器学习）概率论基础 - 图72%3DcE(X)#card=math&code=E%28cX%29%3DcE%28X%29)，（机器学习）概率论基础 - 图73%3Dc%5E2D(X)#card=math&code=D%28cX%29%3Dc%5E2D%28X%29)
    • （机器学习）概率论基础 - 图74%3DE(X)%2B-E(Y)#card=math&code=E%28X%2B-Y%29%3DE%28X%29%2B-E%28Y%29)
    • （机器学习）概率论基础 - 图75%3DD(X)%2BD(Y)#card=math&code=D%28X%2B-Y%29%3DD%28X%29%2BD%28Y%29) ，条件：（机器学习）概率论基础 - 图76 独立
    • （机器学习）概率论基础 - 图77%3DD(X)%2BD(Y)-2Cov(X%2CY)#card=math&code=D%28X%2BY%29%3DD%28X%29%2BD%28Y%29-2Cov%28X%2CY%29)
    • （机器学习）概率论基础 - 图78%3DE(X)E(Y)#card=math&code=E%28XY%29%3DE%28X%29E%28Y%29)

同分布：有相同的分布律或概率密度

用于计算的中心极限定理：

  • 设（机器学习）概率论基础 - 图79 独立同分布，则当 （机器学习）概率论基础 - 图80 充分大时， （机器学习）概率论基础 - 图81%2CnD(Xk))%0A#card=math&code=%5Csum%7Bk%3D1%7D%5EnX_k%5Csim%20N%28nE%28X_k%29%2CnD%28X_k%29%29%0A)
  • 设 （机器学习）概率论基础 - 图82#card=math&code=Y%5Csim%20B%28n%2Cp%29)，则当 （机器学习）概率论基础 - 图83 充分大时， （机器学习）概率论基础 - 图84)%0A#card=math&code=Y%5Csim%20N%28np%2Cnp%281-p%29%29%0A)

Chapter 5.

5.1 基本概念

样本是相互独立且与总体同分布的随机变量

样本值：样本的取值

统计量：样本的函数

抽样分布：统计量的分布

5.2 切比雪夫不等式与抽样分布

切比雪夫不等式：

（机器学习）概率论基础 - 图85%7C%5Cge%20%5Cepsilon%5C%7D%5Cle%5Cfrac%7BD(X)%7D%7B%5Cepsilon%5E2%7D%0A#card=math&code=P%5C%7B%7CX-E%28X%29%7C%5Cge%20%5Cepsilon%5C%7D%5Cle%5Cfrac%7BD%28X%29%7D%7B%5Cepsilon%5E2%7D%0A)

三大分布：

  • 卡方分布（ （机器学习）概率论基础 - 图86 分布）

    • （机器学习）概率论基础 - 图87 独立且服从 （机器学习）概率论基础 - 图88#card=math&code=N%280%2C1%29)
    • 则，（机器学习）概率论基础 - 图89#card=math&code=%5Cchi%5E2%3DX_1%5E2%2B…%2BX_n%5E2%5Csim%20%5Cchi%5E2%28n%29)
    • （机器学习）概率论基础 - 图90#card=math&code=%5Cchi%5E2%28n%29) 表示自由度为 （机器学习）概率论基础 - 图91 的 （机器学习）概率论基础 - 图92 分布

  • （机器学习）概率论基础 - 图93 分布

    • （机器学习）概率论基础 - 图94 独立，（机器学习）概率论基础 - 图95#card=math&code=X%5Csim%20N%280%2C1%29)，（机器学习）概率论基础 - 图96#card=math&code=Y%5Csim%20%5Cchi%5E2%28n%29)
    • 规定 （机器学习）概率论基础 - 图97#card=math&code=t%3D%5Cfrac%7BX%7D%7B%5Csqrt%7BY%2Fn%7D%7D%5Csim%20t%28n%29)
    • （机器学习）概率论基础 - 图98#card=math&code=t%28n%29) 表示自由度为 （机器学习）概率论基础 - 图99 的 （机器学习）概率论基础 - 图100 分布

  • （机器学习）概率论基础 - 图101 分布

    • （机器学习）概率论基础 - 图102 独立，（机器学习）概率论基础 - 图103#card=math&code=U%5Csim%20%5Cchi%5E2%28n_1%29)，（机器学习）概率论基础 - 图104#card=math&code=V%5Csim%20%5Cchi%5E2%28n_2%29)
    • 规定 （机器学习）概率论基础 - 图105#card=math&code=F%3D%5Cfrac%7BU%2Fn_1%7D%7BV%2Fn_2%7D%5Csim%20F%28n_1%2Cn_2%29)

5.3 矩估计与最大似然估计（必考）

  • 矩估计值：使 （机器学习）概率论基础 - 图106%3D%5Cbar%20X#card=math&code=E%28X%29%3D%5Cbar%20X) 的 （机器学习）概率论基础 - 图107 值

  • 最大似然估计值：使似然函数 （机器学习）概率论基础 - 图108#card=math&code=L%28%5Ctheta%29) 取最大值时的 （机器学习）概率论基础 - 图109 值
    似然函数：
    （离散）

（机器学习）概率论基础 - 图110%3D%5Cprod%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7DP%5C%7BX%3Dx_i%3B%5Ctheta%5C%7D%0A#card=math&code=L%28%5Ctheta%29%3D%5Cprod%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7DP%5C%7BX%3Dx_i%3B%5Ctheta%5C%7D%0A)

  1. （连续）

（机器学习）概率论基础 - 图111%3D%5Cprod%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Df(x_i%3B%5Ctheta)%0A#card=math&code=L%28%5Ctheta%29%3D%5Cprod%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Df%28x_i%3B%5Ctheta%29%0A)

解最大似然估计：

  1. 写 （机器学习）概率论基础 - 图112#card=math&code=L%28%5Ctheta%29)
  2. 等式两边取对数
  3. 求导

求估计量：（机器学习）概率论基础 - 图113 大写

求估计值：（机器学习）概率论基础 - 图114 小写

  • 无偏估计：（机器学习）概率论基础 - 图115%3D%5Ctheta#card=math&code=E%28%5Chat%20%5Ctheta%29%3D%5Ctheta) 等价于 （机器学习）概率论基础 - 图116 是 （机器学习）概率论基础 - 图117 的无偏估计

5.4 区间估计与假设检验

讲义的表背下来

假设检验：

（机器学习）概率论基础 - 图118 必带等于号（等于，大于等于，小于等于）

步骤

  1. 写 （机器学习）概率论基础 - 图119
  2. 算检验统计量
  3. 判断是否在拒绝域内，如果不在，则接受 （机器学习）概率论基础 - 图120