算法基础 - 7. 堆 - 《算法》

堆是一种特殊的树
1. 堆是一个完全二叉树；
2. 堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。
  1. 堆中每个节点的值都大于等于（或者小于等于）其左右子节点的值。这两种表述是等价的。
3. 对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做“大顶堆”。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做“小顶堆”
堆因为是一个完全二叉树，适合用一个数组来存储，单纯通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右节点和父节点
1. 数组中下标为 i 的节点的左子节点，就是下标为 i∗2 的节点，右子节点就是下标为 i∗2+1 的节点，父节点就是下标为 2i 的节点。
堆的插入：将新插入的元素放到堆的最后，此时为了让其重新满足堆的特性，需要开始进行堆化（heapify）
1. 堆化就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换
2. 可以让新插入的节点与父节点对比大小。如果不满足子节点小于等于父节点的大小关系，我们就互换两个节点。一直重复这个过程，直到父子节点之间满足刚说的那种大小关系。
删除堆顶元素
1. 我们把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。这就是从上往下的堆化方法。
堆排序：堆排序的过程大致分解成两个大的步骤，建堆和排序。
1. 建堆：我们首先将数组原地建成一个堆。所谓“原地”就是，不借助另一个数组，就在原数组上操作
  1. 在堆中插入一个元素的思路。尽管数组中包含 n 个数据，但是我们可以假设，起初堆中只包含一个数据，就是下标为 1 的数据。然后，我们调用前面讲的插入操作，将下标从 2 到 n 的数据依次插入到堆中。这样我们就将包含 n 个数据的数组，组织成了堆。
  2. 第二种实现思路，跟第一种截然相反。第一种建堆思路的处理过程是从前往后处理数组数据，并且每个数据插入堆中时，都是从下往上堆化。而第二种实现思路，是从后往前处理数组，并且每个数据都是从上往下堆化。
    1. 因为叶子节点往下堆化只能自己跟自己比较，所以我们直接从最后一个非叶子节点开始，依次堆化就行了。
  3. 建堆的时间复杂度是 O(n)，虽然每个节点堆化的时间复杂度是 O(logn)，但是 (n / 2) + 1 个节点堆化的总时间复杂度不是 O(nlogn)，而是 O(n)
    1. 每个节点堆化的过程中，需要比较和交换的节点个数，跟这个节点的高度 k 成正比。
    2. 、
    3. 我们将每个非叶子节点的高度求和，就是下面这个公式：
    4. 使用错位相减法得到结果为
    5. 因为 h = log2 n ，因此 S = O(n)
2. 排序：建堆结束之后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。我们把它跟最后一个元素交换，那最大元素就放到了下标为 n 的位置。
  1. 当堆顶元素移除之后，我们把下标为 n 的元素放到堆顶，然后再通过堆化的方法，将剩下的 n−1 个元素重新构建成堆。堆化完成之后，我们再取堆顶的元素，放到下标是 n−1 的位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩下标为 1 的一个元素，排序工作就完成了
3. 堆排序相比快速排序的缺点：
  1. 堆排序数据访问的方式没有快速排序友好。对于堆排序来说，数据是跳着访问的，而不是像快速排序那样，局部顺序访问，所以，这样对 CPU 缓存是不友好的。
  2. 对于同样的数据，在排序过程中，堆排序算法的数据交换次数要多于快速排序。因为建堆的第一步就会打乱数据原有的相对先后顺序，导致原数据的有序度降低，对于一组已经有序的数据来说，经过建堆之后，数据反而变得更无序了
优先级队列：堆和优先级队列非常相似。一个堆就可以看作一个优先级队列。很多时候，它们只是概念上的区分而已。往优先级队列中插入一个元素，就相当于往堆中插入一个元素；从优先级队列中取出优先级最高的元素，就相当于取出堆顶元素。
1. 合并有序小文件：假设我们有 100 个小文件，每个文件的大小是 100MB，每个文件中存储的都是有序的字符串。我们希望将这些 100 个小文件合并成一个有序的大文件
  1. 整体思路有点像归并排序中的合并函数。我们从这 100 个文件中，各取第一个字符串，放入数组中，然后比较大小，把最小的那个字符串放入合并后的大文件中，并从数组中删除
  2. 我们就再从这个小文件取下一个字符串，放到数组中，重新比较大小，并且选择最小的放入合并后的大文件，将它从数组中删除。依次类推，直到所有的文件中的数据都放入到大文件为止
2. 高性能定时器：假设我们有一个定时器，定时器中维护了很多定时任务，每个任务都设定了一个要触发执行的时间点。定时器每过一个很小的单位时间（比如 1 秒），就扫描一遍任务，看是否有任务到达设定的执行时间。如果到达了，就拿出来执行
  1. 可以用优先级队列来解决。我们按照任务设定的执行时间，将这些任务存储在优先级队列中，队列首部（也就是小顶堆的堆顶）存储的是最先执行的任务。这样，定时器就不需要每隔 1 秒就扫描一遍任务列表了。它拿队首任务的执行时间点，与当前时间点相减，得到一个时间间隔 T。
  2. 当 T 秒时间过去之后，定时器取优先级队列中队首的任务执行。然后再计算新的队首任务的执行时间点与当前时间点的差值，把这个值作为定时器执行下一个任务需要等待的时间。这样，定时器既不用间隔 1 秒就轮询一次，也不用遍历整个任务列表，性能也就提高了。
利用堆求 Top K：如何在一个包含 n 个数据的数组中，查找前 K 大数据呢
1. 我们可以维护一个大小为 K 的小顶堆，顺序遍历数组，从数组中取出数据与堆顶元素比较。如果比堆顶元素大，我们就把堆顶元素删除，并且将这个元素插入到堆中；如果比堆顶元素小，则不做处理，继续遍历数组。这样等数组中的数据都遍历完之后，堆中的数据就是前 K 大数据了
利用堆求动态数据的中位数：
1. 需要维护两个堆，一个大顶堆，一个小顶堆。大顶堆中存储前半部分数据，小顶堆中存储后半部分数据，且小顶堆中的数据都大于大顶堆中的数据
  1. 如果有 n 个数据，n 是偶数，我们从小到大排序，那前 2/n 个数据存储在大顶堆中，后 2/n 个数据存储在小顶堆中。这样，大顶堆中的堆顶元素就是我们要找的中位数。如果 n 是奇数，情况是类似的，大顶堆就存储 2/n+1 个数据，小顶堆中就存储 2/n 个数据。
2. 如果新加入的数据小于等于大顶堆的堆顶元素，我们就将这个新数据插入到大顶堆；否则，我们就将这个新数据插入到小顶堆，此时如果两个堆的数据个数不符合约定的情况，就将一个堆中的元素移动到另外一个堆去。
3. 利用两个堆不仅可以快速求出中位数，还可以快速求其他百分位的数据，原理是类似的，只要保持两个堆数据大小的百分比即可