7、图

数据结构 图

图基本介绍

为什么要有图

前面学了线性表和树，线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系，树也只能有一个直接前驱也就是父节点，当需要表示多对多的关系时，这里就用到了图。

图的举例说明

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点也可以称为顶点。如图：

图的常用概念

1. 顶点(vertex)
2. 边(edge)
3. 路径
4. 无向图(下图)

无向图： 顶点之间的连接没有方向，比如A-B，即可以是A-> B 也可以 B->A。
路径: 比如从 D -> C 的路径有
1) D->B->C
2) D->A->B->C

1. 有向图

1. 带权图

图的表示方式

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1….n个点。

邻接表

1. 邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
2. 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成

图的快速入门案例

要求：代码实现如下图结构：

思路分析

1. 存储顶点String 使用ArrayList

2. 保存矩阵 int[][] edges

   代码实现

   //核心代码，汇总在后面
   //插入结点
   public void insertVertex(String vertex) {
    vertexList.add(vertex);
   }
   //添加边
   /**
   *
   * @param v1 表示点的下标即使第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
   * @param v2 第二个顶点对应的下标
   * @param weight 表示
   */
   public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
    edges[v1][v2] = weight;
    edges[v2][v1] = weight;
    numOfEdges++;
   }

   图的深度优先遍历介绍

   所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略：

3. 深度优先遍历

4. 广度优先遍历

   深度优先遍历基本思想

   图的深度优先搜索(Depth First Search) 。

5. 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。

6. 可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。

7. 显然，深度优先搜索是一个递归的过程

   深度优先遍历算法步骤

8. 访问初始结点v，并标记结点v为已访问。

9. 查找结点v的第一个邻接结点w。
10. 若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。
11. 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。
12. 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。

看一个具体案例分析：

深度优先算法的代码实现

//核心代码
//深度优先遍历算法
//i 第一次就是 0
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
    //首先我们访问该结点,输出
    System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
    //将结点设置为已经访问
    isVisited[i] = true;
    //查找结点 i 的第一个邻接结点 w
    int w = getFirstNeighbor(i);
    while(w != -1) {//说明有
        if(!isVisited[w]) {
            dfs(isVisited, w);
        }
        //如果 w 结点已经被访问过
        w = getNextNeighbor(i, w);
    }
}
//对 dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
public void dfs() {
    isVisited = new boolean[vertexList.size()];
    //遍历所有的结点，进行 dfs[回溯]
    for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
        if(!isVisited[i]) {
            dfs(isVisited, i);
        }
    }
}

图的广度优先遍历

广度优先遍历基本思想

图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

广度优先遍历算法步骤

1. 访问初始结点v并标记结点v为已访问。
2. 结点v入队列
3. 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4. 出队列，取得队头结点u。
5. 查找结点u的第一个邻接结点w。
6. 若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：

6.1 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。
6.2 结点w入队列
6.3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。

广度优先举例说明

广度优先算法的代码实现

//对一个结点进行广度优先遍历的方法
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
    int u ; // 表示队列的头结点对应下标
    int w ; // 邻接结点 w
    //队列，记录结点访问的顺序
    LinkedList queue = new LinkedList();
    //访问结点，输出结点信息
    System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
    //标记为已访问
    isVisited[i] = true;
    //将结点加入队列
    queue.addLast(i);
    while( !queue.isEmpty()) {
        //取出队列的头结点下标
        u = (Integer)queue.removeFirst();
        //得到第一个邻接结点的下标 w
        w = getFirstNeighbor(u);
        while(w != -1) {//找到
            //是否访问过
            if(!isVisited[w]) {
                System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
                //标记已经访问
                isVisited[w] = true;
                //入队
                queue.addLast(w);
            }
            //以 u 为前驱点，找 w 后面的下一个邻结点
            w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
        }
    }
}
//遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
public void bfs() {
    isVisited = new boolean[vertexList.size()];
    for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
        if(!isVisited[i]) {
            bfs(isVisited, i);
        }
    }
}

图的深度优先 VS 广度优先

应用实例

1. 深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7
2. 广度优先算法的遍历顺序为：1->2->3->4->5->6->7->8

   代码汇总

   ```java import java.util.ArrayList; import java.util.Arrays; import java.util.LinkedList;

public class Graph {

private ArrayList<String> vertexList; //存储顶点集合
private int[][] edges; //存储图对应的邻结矩阵
private int numOfEdges; //表示边的数目
//定义给数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
private boolean[] isVisited;

public static void main(String[] args) {
    //测试一把图是否创建ok
    int n = 8;  //结点的个数
    //String Vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"};
    String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};

    //创建图对象
    Graph graph = new Graph(n);
    //循环的添加顶点
    for(String vertex: Vertexs) {
        graph.insertVertex(vertex);
    }

    //添加边
    //A-B A-C B-C B-D B-E 

// graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B // graph.insertEdge(0, 2, 1); // // graph.insertEdge(1, 2, 1); // // graph.insertEdge(1, 3, 1); // // graph.insertEdge(1, 4, 1); //

    //更新边的关系
    graph.insertEdge(0, 1, 1);
    graph.insertEdge(0, 2, 1);
    graph.insertEdge(1, 3, 1);
    graph.insertEdge(1, 4, 1);
    graph.insertEdge(3, 7, 1);
    graph.insertEdge(4, 7, 1);
    graph.insertEdge(2, 5, 1);
    graph.insertEdge(2, 6, 1);
    graph.insertEdge(5, 6, 1);



    //显示一把邻结矩阵
    graph.showGraph();

    //测试一把，我们的dfs遍历是否ok
    System.out.println("深度遍历");
    graph.dfs(); // A->B->C->D->E [1->2->4->8->5->3->6->7]

// System.out.println(); System.out.println(“广度优先!”); graph.bfs(); // A->B->C->D-E [1->2->3->4->5->6->7->8]

}

//构造器
public Graph(int n) {
    //初始化矩阵和vertexList
    edges = new int[n][n];
    vertexList = new ArrayList<String>(n);
    numOfEdges = 0;

}

//得到第一个邻接结点的下标 w 
/**
 * 
 * @param index 
 * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
 */
public int getFirstNeighbor(int index) {
    for(int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
        if(edges[index][j] > 0) {
            return j;
        }
    }
    return -1;
}
//根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
    for(int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
        if(edges[v1][j] > 0) {
            return j;
        }
    }
    return -1;
}

//深度优先遍历算法
//i 第一次就是 0
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
    //首先我们访问该结点,输出
    System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
    //将结点设置为已经访问
    isVisited[i] = true;
    //查找结点i的第一个邻接结点w
    int w = getFirstNeighbor(i);
    while(w != -1) {//说明有
        if(!isVisited[w]) {
            dfs(isVisited, w);
        }
        //如果w结点已经被访问过
        w = getNextNeighbor(i, w);
    }

}

//对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
public void dfs() {
    isVisited = new boolean[vertexList.size()];
    //遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
    for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
        if(!isVisited[i]) {
            dfs(isVisited, i);
        }
    }
}

//对一个结点进行广度优先遍历的方法
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
    int u ; // 表示队列的头结点对应下标
    int w ; // 邻接结点w
    //队列，记录结点访问的顺序
    LinkedList queue = new LinkedList();
    //访问结点，输出结点信息
    System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
    //标记为已访问
    isVisited[i] = true;
    //将结点加入队列
    queue.addLast(i);

    while( !queue.isEmpty()) {
        //取出队列的头结点下标
        u = (Integer)queue.removeFirst();
        //得到第一个邻接结点的下标 w 
        w = getFirstNeighbor(u);
        while(w != -1) {//找到
            //是否访问过
            if(!isVisited[w]) {
                System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
                //标记已经访问
                isVisited[w] = true;
                //入队
                queue.addLast(w);
            }
            //以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
            w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
        }
    }

} 

//遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
public void bfs() {
    isVisited = new boolean[vertexList.size()];
    for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
        if(!isVisited[i]) {
            bfs(isVisited, i);
        }
    }
}

//图中常用的方法
//返回结点的个数
public int getNumOfVertex() {
    return vertexList.size();
}
//显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
    for(int[] link : edges) {
        System.err.println(Arrays.toString(link));
    }
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
    return numOfEdges;
}
//返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i) {
    return vertexList.get(i);
}
//返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
    return edges[v1][v2];
}
//插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
    vertexList.add(vertex);
}
//添加边
/**
 * 
 * @param v1 表示点的下标即使第几个顶点  "A"-"B" "A"->0 "B"->1
 * @param v2 第二个顶点对应的下标
 * @param weight 表示 
 */
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
    edges[v1][v2] = weight;
    edges[v2][v1] = weight;
    numOfEdges++;
}

} ```