偏微分方程

偏微分方程是大部分高性能计算问题的根源。这里是两个最重要的公式的快速推导。

偏导数

函数$u(x)$的导数是对变化率的度量。偏导数相同，但对于函数$u(x,y)$有两个变量。标记为$u_x$和$u_y$的这些偏导数表示，如果只有一个变量变化，而另一个保持不变，则变化率。

在形式上，我们定义$ux,u_y$: $$ u_x(x,y)=\lim{h\rightarrow 0}\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h},\quad uy(x,y)=\lim{h\rightarrow 0}\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h} $$

泊松或拉普拉斯方程

设$T$为材料的温度，则其热能与其成正比。一段长度$\Delta x$具有热能$Q=c\Delta x·u$。如果这段的热能是恒定的 $$ \frac{\delta Q}{\delta t}=c \Delta x \frac{\delta u}{\delta t}=0 $$ 但它也是部分的流入和流出之间的差异。由于流量与温差成比例，也就是与$ux$成比例，我们也看到了这一点 $$ 0=\left.\frac{\delta u}{\delta x}\right|{x+\Delta x}-\left.\frac{\delta u}{\delta x}\right|{x} $$ 在$\Delta x\downarrow 0$的极限下，得到$u{xx}=0$，这被称为拉普拉斯方程。如果我们有一个初始项，例如对应于外部施加的热量，方程就变成$u_{xx}=f$，这被称为泊松方程。

热方程

设$T$为材料的温度，则其热能与其成正比。一段长度$\Delta x$具有热能$Q=c\Delta x·u$。这一段的热能变化率是 $$ \frac{\delta Q}{\delta t}=c \Delta x \frac{\delta u}{\delta t} $$ 但它也是部分的流入和流出之间的差异。由于流量与温差成比例，也就是与$ux$成比例，我们也看到了这一点 $$ \frac{\delta Q}{\delta t}=\left.\frac{\delta u}{\delta x}\right|{x+\Delta x}-\left.\frac{\delta u}{\delta x}\right|{x} $$ 在$\Delta x\downarrow 0$的限制下，这会得到$u_t=\alpha u{xx}$。

恒稳态

IBVP的解决方案是函数$u(x,t)$。在强迫函数和边界条件不依赖于时间的情况下，解将随时间收敛到一个称为稳态解的函数: $$ \lim{t\rightarrow \infty}u(x,t)=u{steadystate}(x) $$ 这个解满足一个BVP，这个BVP可以通过设置$ut\equiv 0$得到。例如，对于热方程 $$ u_t=u{xx}+q(x) $$ 稳态解满足$-u{xx}=q(x)$。