泰勒级数

泰勒级数展开是一种强大的数学工具。在本课程中，它被多次用于证明数值方法的性质。 在某种意义上，泰勒展开式定理要求函数可以用多项式逼近得多好，也就是说，对于一个给定的函数𝑓，我们能否找到𝑖= 1的系数𝑐𝑖，…𝑛,这样 $$ f(x) \approx c{0}+c{1} x+c{2} x^{2}+\cdots+c{n} x^{n} $$ 这个问题显然需要改进。我们说的“近似相等”是什么意思?这个近似公式并不适用于所有的函数𝑓和所有的𝑥:函数sin𝑥对于所有的𝑥是有界的，但是对于𝑥→±∞，任何多项式都是无界的，因此任何多项式逼近sin𝑥函数都是无界的。很明显，我们只能在一个区间上近似。

我们将证明一个具有足够多导数的函数𝑓可以近似如下:如果𝑛-th导数𝑓(𝑛)在区间𝐼上是连续的，则存在系数𝑐0，…，𝑐𝑛−1 $$ \forall{x \in I}:\left|f(x)-\sum{i<n} c{i} x^{i}\right| \leq c M{n} \quad \text { where } M{n}=\max {x \in I}\left|f^{(n)}(x)\right| $$ 很容易得到这些系数应该是多少。假设 $$ f(x)=c0+c_1x+c_2x^2+\cdots $$ （在那里我们不会担心收敛的问题和点持续多久）然后填入 $$ x=0\quad \text{gives}\quad c_0=f(0). $$ 接下来，求一阶导数 $$ f‘(x)=c_1+2c_2x+3c_3x^2+\cdots $$ 填入 $$ x=0\quad \text{gives}\quad c_1=f’(0). $$ 二阶导数 $$ f’’(x)=2c_2+6c_3x+\cdots $$ 给定$x=0$得到： $$ c_2=f’’(0)/2 $$ 同样，在三阶导数中 $$ \text{filling in}\quad x = 0 \text{ gives } c_3 = \frac{1}{3!}f^{(3)}(0). $$ 现在我们需要更精确一点。柯西形式的泰勒定理说 $$ f(x)=f(a)+\frac{1}{1 !} f^{\prime}(a)(x-a)+\cdots+\frac{1}{n !} f^{(n)}(a)(x-a)^{n}+R{n}(x) $$ 其中，余项$Rn$为： $$ R{n}(x)=\frac{1}{(n+1) !} f^{(n+1)}(\xi)(x-a)^{n+1} \quad \text { where } \xi \in(a, x) \text { or } \xi \in(x, a) \text { depending. } $$ 如果$f^{(n+1)}$是有界的，$x=a+h$，那么我们经常使用泰勒定理的形式是 $$ f(x)=\sum{k=0}^{n} \frac{1}{k !} f^{(k)}(a) h^{k}+O\left(h^{n+1}\right) $$ 我们现在用一个多项式在某一区间上逼近函数$f$，其误差随多项式次数的倒数呈几何级数递减。为了证明泰勒定理，我们用分部积分法。首先，我们写 $$ \int{a}^{x} f^{\prime}(t) d t=f(x)-f(a) $$ 为 $$ f(x)=f(a)+\int{a}^{x} f^{\prime}(t) d t $$ 然后给出分部积分法 $$ \begin{aligned} f(x) &=f(a)+\left[x f^{\prime}(x)-a f^{\prime}(a)\right]-\int{a}^{x} t f^{\prime \prime}(t) d t \ &=f(a)+\left[x f^{\prime}(x)-x f^{\prime}(a)+x f^{\prime}(a)-a f^{\prime}(a)\right]-\int{a}^{x} t f^{\prime \prime}(t) d t \ &=f(a)+x \int{a}^{x} f^{\prime \prime}(t) d t+(x-a) f^{\prime}(a)-\int{a}^{x} t f^{\prime \prime}(t) d t \ &=f(a)+(x-a) f^{\prime}(a)+\int{a}^{x}(x-t) f^{\prime \prime}(t) d t \end{aligned} $$ 给出了分部积分法的另一应用 $$ f(x)=f(a)+(x-a) f^{\prime}(a)+\frac{1}{2}(x-a)^{2} f^{\prime \prime}(a)+\frac{1}{2} \int{a}^{x}(x-t)^{2} f^{\prime \prime \prime}(t) d t $$ 归纳起来，这就给出了泰勒定理 $$ R{n+1}(x)=\frac{1}{n !} \int{a}^{x}(x-t)^{n} f^{(n+1)}(t) d t $$ 根据中值定理，这是 $$ \begin{aligned} R{n+1}(x) &=\frac{1}{(n+1) !} f^{(n+1)}(\xi) \int_{a}^{x}(x-t)^{n} f^{(n+1)}(t) d t \ &=\frac{1}{(n+1) !} f^{(n+1)}(\xi)(x-a)^{n+1} \end{aligned} $$