如何理解“递归”？

去的过程叫“递”，回来的过程叫“归”。基本上，所有的递归问题都可以用递推公式来表示。

递归需要满足的三个条件

1.一个问题的解可以分解为几个子问题的解
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何为子问题？子问题就是数据规模更小的问题。比如，前面讲的电影院的例子，你要知道，“自己在哪一排”的问题，可以分解为“前一排的人在哪一排”这样一个子问题。

2. 这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样
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比如电影院那个例子，你求解“自己在哪一排”的思路，和前面一排人求解“自己在哪一排”的思路，是一模一样的

3. 存在递归终止条件
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把问题分解为子问题，把子问题再分解为子子问题，一层一层分解下去，不能存在无限循环，这就需要有终止条件。

如何编写递推公式

写出递推公式，找到终止条件
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写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律，并且基于此写出递推公式，然后再推敲终止条件，最后将递推公式和终止条件翻译成代码。

如果一个问题 A 可以分解为若干子问题 B、C、D，你可以假设子问题 B、C、D 已经解决，在此基础上思考如何解决问题 A。而且，你只需要思考问题 A 与子问题 B、C、D 两层之间的关系即可，不需要一层一层往下思考子问题与子子问题，子子问题与子子子问题之间的关系。屏蔽掉递归细节，这样子理解起来就简单多了。

编写递归代码的关键是，只要遇到递归，我们就把它抽象成一个递推公式，不用想一层层的调用关系，不要试图用人脑去分解递归的每个步骤。

递归代码要警惕堆栈溢出


为什么会出现堆栈溢出?

函数调用会使用栈来保存临时变量。每调用一个函数，都会将临时变量封装为栈帧压入内存栈，等函数执行完成返回时，才出栈。系统栈或者虚拟机栈空间一般都不大。如果递归求解的数据规模很大，调用层次很深，一直压入栈，就会有堆栈溢出的风险。

如何避免

我们可以通过在代码中限制递归调用的最大深度的方式来解决这个问题。递归调用超过一定深度（比如 1000）之后，我们就不继续往下再递归了，直接返回报错。

递归可能会出现重复计算的问题

为了避免重复计算，我们可以通过一个数据结构（比如散列表）来保存已经求解过的 f(k)。当递归调用到 f(k) 时，先看下是否已经求解过了。如果是，则直接从散列表中取值返回，不需要重复计算，这样就能避免刚讲的问题了。

在时间效率上，递归代码里多了很多函数调用，当这些函数调用的数量较大时，就会积聚成一个可观的时间成本。在空间复杂度上，因为递归调用一次就会在内存栈中保存一次现场数据，所以在分析递归代码空间复杂度时，需要额外考虑这部分的开销，比如我们前面讲到的电影院递归代码，空间复杂度并不是 O(1)，而是 O(n)。

怎么将递归代码改写为非递归代码？

递归有利有弊，利是递归代码的表达力很强，写起来非常简洁；而弊就是空间复杂度高、有堆栈溢出的风险、存在重复计算、过多的函数调用会耗时较多等问题。所以，在开发过程中，我们要根据实际情况来选择是否需要用递归的方式来实现。

  1. 递归公式
  2. f(x) =f(x-1)+1
  4. 递归转非递归
  5. int f(int n) {
  6.   int ret = 1;
  7.   for (int i = 2; i <= n; ++i) {
  8.     ret = ret + 1;
  9.   }
  10.   return ret;
  11. }
  13. ------------------------------------
  14. 递归公式
  15. f(1) = 1;
  16. f(2) = 2;
  17. f(n) = f(n-1)+f(n-2);
  19. 递归转非递归
  20. int f(int n) {
  21.   if (n == 1) return 1;
  22.   if (n == 2) return 2;
  23.   int ret = 0;
  24.   int pre = 2;
  25.   int prepre = 1;
  26.   for (int i = 3; i <= n; ++i) {
  27.     ret = pre + prepre;
  28.     prepre = pre;
  29.     pre = ret;
  30.   }
  31.   return ret;
  32. }

那是不是所有的递归代码都可以改为这种迭代循环的非递归写法呢？

笼统地讲，是的。因为递归本身就是借助栈来实现的，只不过我们使用的栈是系统或者虚拟机本身提供的，我们没有感知罢了。如果我们自己在内存堆上实现栈，手动模拟入栈、出栈过程，这样任何递归代码都可以改写成看上去不是递归代码的样子。但是这种思路实际上是将递归改为了“手动”递归，本质并没有变，而且也并没有解决前面讲到的某些问题，徒增了实现的复杂度。

内容小结

1.递归是一种非常高效、简洁的编码技巧。只要是满足“三个条件”的问题就可以通过递归代码来解决。

  • 每个问题的解可以分解为若干个小问题的解
  • 每个问题除了数据规模不同，解决问题的思路是相同的
  • 有递归终止条件

2.如何更好编写递归代码

  • 根据问题的逻辑，写出递推公式。
  • 找到递归终止条件
  • 最后翻译成递归代码

3.递归的弊端

  • 递归调用层次深，可以会导致堆栈溢出

    1. 引入变量来控制函数调用的深度，需要根据实际情况来判断。

  • 重复计算

    1. 引入容器，将计算过的值存入到容器中

  • 函数调用耗时多、空间复杂度多高

课后思考

我们平时调试代码喜欢使用 IDE 的单步跟踪功能，像规模比较大、递归层次很深的递归代码，几乎无法使用这种调试方式。对于递归代码，你有什么好的调试方法呢？
调试递归:
1.打印日志发现，递归值。
2.结合条件断点进行调试。