题目：求斐波那契数列的第 斐波那契数列 - 图1 项。斐波那契数列的定义如下：

    斐波那契数列 - 图2

    斐波那契数列的定义对于大家来说应该很熟了，即斐波那契数列的第 斐波那契数列 - 图3 项等于前两项之和。

    1. public static int fibonacci(int n) {
    2.     if (n <= 0) {
    3.         return 0;
    4.     } else if (n == 1 || n == 2) {
    5.         return 1;
    6.     }
    7.     return fibonacci(n -1) + fibonacci(n - 2);
    8. }

    但是上面的程序有个很大的问题，就是运行的速度很慢，我们先看一下运行的时间，再来分析为何这么慢

    1. public static void main(String[] args) {
    2.     long start = System.nanoTime();
    3.     System.out.println(fibonacci(45));
    4.     long end = System.nanoTime();
    5.     System.out.println((end -  start) / 1000000 + " ms");
    6. }

    结果如下

    1. 1134903170
    2. 4272 ms

    在我的电脑上，计算斐波那契数列第 斐波那契数列 - 图4 所需的时间为4272 ms，这时因为有重复的计算，我们在计算 斐波那契数列 - 图5#card=math&code=f%2845%29&height=20&width=39) 时，需要计算 斐波那契数列 - 图6#card=math&code=f%2844%29&height=20&width=39) 和 斐波那契数列 - 图7#card=math&code=f%2843%29&height=20&width=39)，而在计算 斐波那契数列 - 图8#card=math&code=f%2844%29&height=20&width=39) 还需要计算 斐波那契数列 - 图9#card=math&code=f%2843%29&height=20&width=39)，这样计算就重复了，它的时间复杂度为斐波那契数列 - 图10#card=math&code=O%282%5En%29&height=20&width=43)。

    现在我们考虑另一种解法，我们分析上面的计算是因为重复的计算，如果我们利用前面已有的结果，那么所需的时间即可大大减少，程序如下

    1. public static int fibonacci(int n) {
    2.     if (n <= 0) {
    3.         return 0;
    4.     } if (n == 1 || n == 2) {
    5.         return 1;
    6.     }
    7.     int firstNumber = 1;
    8.     int secondNumber = 1;
    9.     int result = 0;
    10.     for (int i = 2; i < n; i++) {
    11.         result =  firstNumber + secondNumber;
    12.         firstNumber = secondNumber;
    13.         secondNumber = result;
    14.     }
    15.     return result;
    16. }

    上面的时间复杂度只有斐波那契数列 - 图11#card=math&code=O%28n%29&height=20&width=36)，我们再次计算第 斐波那契数列 - 图12 项

    1. 1134903170
    2. 0 ms

    所需的时间连 1 ms 都不需要，速度相比上面提高的不是一星半点。

    题目：青蛙跳台阶。一只青蛙一次可以跳上 斐波那契数列 - 图13 级台阶，也可以跳上 斐波那契数列 - 图14 级台阶。求该青蛙跳上一个 斐波那契数列 - 图15 级的台阶总共有多少种跳法。

    其实这个问题仔细想想就可以发现，这道问题就是斐波那契数列的一个变体。考虑第 斐波那契数列 - 图16 级台阶，青蛙最后一步到达第 斐波那契数列 - 图17 级台阶只有两种方法，从 斐波那契数列 - 图18 级跳 斐波那契数列 - 图19 级，或者从 斐波那契数列 - 图20 级跳 斐波那契数列 - 图21 级，设青蛙跳上一个 斐波那契数列 - 图22 级台阶有 斐波那契数列 - 图23 种跳法，那么可以得到这样的关系式
    斐波那契数列 - 图24%20%3D%20f(n%20-%201)%20%2Bf(n%20-%202)%0A#card=math&code=f%28n%29%20%3D%20f%28n%20-%201%29%20%2Bf%28n%20-%202%29%0A&height=20&width=198)

    这个式子不就是斐波那契数列的通项嘛，所以程序的写法也是一样的，不过它们的初始条件不一样，简单分析就可以得到

    斐波那契数列 - 图25%20%3D%201%20%5C%5C%5C%5C%0Af(2)%20%3D%202%0A#card=math&code=f%281%29%20%3D%201%20%5C%5C%5C%5C%0Af%282%29%20%3D%202%0A&height=45&width=724)

    具体的程序参考上面。