线性空间

  1. 线性空间的定义：（定义了满足通常的运算规则的加法和数乘法的非空集合）。
  2. 线性无关的定义：（其次方程只有0解）。
  3. 向量组的极大线性无关子组：（无关性，极大性）
  4. 有限维线性空间的定义：（能用有限个基表示空间中任意向量的空间）
  5. 基的定义：（无关性，可表示性）
  6. 极大线性无关子组：（无关性，极大性）
  7. 线性子空间的定义：（V的子集W对加法和数乘闭合）
  8. 矩阵的核和矩阵的像：（ker A是Ax=0的解空间，im A是y=Ax的像空间）
  9. 向量组张成子空间与子空间的的生成向量组
  10. 子空间的交与和: (矩阵分析概念助记 - 图1为两个集合的公共元素，矩阵分析概念助记 - 图2为两个集合中元素的和）
  11. 子空间的直和:(矩阵分析概念助记 - 图3两子空间的交只有零向量，两子空间的和为W)
  12. 补子空间：（两子空间是第三个子空间的直和，那他们互为补子空间）
  13. 线性映射：（V1->V2的映射保持加法和数乘法）
  14. 线性映射的矩阵表示：（第j个入口基在映射下的像在出口基下的列向量坐标拼成的矩阵）
  15. 矩阵等价的定义：（AP = QB）
  16. 矩阵相似的定义：（AP = PB，相似嘛，起码形状一样样，得是方阵）
  17. 方阵的不变子空间：（矩阵分析概念助记 - 图4,也就是矩阵分析概念助记 - 图5）
  18. 一维不变子空间：（矩阵分析概念助记 - 图6, p是A的一个不变子空间）
  19. Schur定理：（复矩阵恒能相似上三角化）

多项式矩阵

  1. 矩阵分析概念助记 - 图7是有理分式域，矩阵分析概念助记 - 图8是多项式环。
  2. 多项式矩阵。
  3. 多项式矩阵的秩（不为零的子式最大阶数）
  4. 单位模阵（多项式矩阵范围可逆）
  5. 单位模阵的行列式为非零常值。
  6. 多项式矩阵的初等变换（不能某行乘以多项式，而是非零常数）
  7. 多项式矩阵等价(UAV=B，U，V是幺模阵)
  8. 多项式矩阵的Smith标准型（左上角往右下角升次数，0认为可被任意非零多项式整除）
  9. 多项式矩阵的行列式因子（所有k阶子式的最大公因子，等价变换不改变行列式因子）
  10. 不变因子（就是斯Smith标准型主对角线上的非零元素
  11. 多项式矩阵的等价标准型(化为Smith标准型，通过求各阶行列式因子求)
  12. 特征矩阵的定义：（矩阵分析概念助记 - 图9I - A 是A的特征矩阵）
  13. 两个矩阵相似：
    1. AP = PB
    2. 必要条件： 特征值相同，行列式相等，迹相等，秩相等。
    3. 特征矩阵等价。
    4. 特征矩阵具有相同的各阶行列式因子
    5. 特征矩阵具有相同的各阶不变因子
    6. 特征矩阵具有相同的初等因子组
    7. 特征矩阵具有相同的Smith标准型
    8. 特征矩阵具有相同的第二规范型
    9. 特征矩阵具有相同的第三规范型
  14. 初等因子组的定义：（特征矩阵的不变因子做质因式分解时出现的质因式的方幂，重复出现则算为多个初等因子）
  15. Jordan块等价于Simith标准型的块。
  16. 广义特征向量
  17. 特征向量链
  18. 特征值的代数重数和集合重数

内积空间

  1. 欧几里德空间的定义（实内积空间，三个性质）
  2. 复内积空间，酉空间。（有限维的复内积空间为酉空间，）
  3. 标准内积和标准酉空间。
  4. 共轭转置。
  5. 两向量组的交互Gram矩阵。
  6. 向量组的度量矩阵。
  7. 向量长度的定义。
  8. 向量之间距离的定义。
  9. 向量长度的性质。
    1. 正性
    2. 正齐性
    3. 三角不等式
    4. Cauchy-Scwartz不等式
    5. 平行四边形公式
  10. 实内积空间中两向量之间的夹角。
  11. 复内积空间里两向量的正交。
  12. 正交组，标准正交组，标准正交基
  13. 正交租的Gram矩阵是非奇异的对角阵。
  14. 酉矩阵的定义。
  15. 酉相似
  16. Schur定理
  17. Hermit矩阵是复数域上的对称矩阵
  18. 正规矩阵image.png
  19. A是正规矩阵
    1. A是Hermit矩阵，当A的特征值是实数
    2. A是反Hermit矩阵，当A的特征值的实部为零
    3. A是酉矩阵，当A的特征值的模等于1
  20. 正规矩阵的酉相似对角化
    1. 求其特征矩阵的特征值
    2. 求每一特征值的基础解系
    3. 对上面的基础解系进行Gram-Schmidt标准正交化
    4. 对角矩阵为特征值，U矩阵由上述向量拼出
  21. Hermit矩阵定义
  22. Hermit矩阵的合同
  23. 正定矩阵与正定二次型。（矩阵分析概念助记 - 图11）
  24. 正定矩阵开平方
  25. Hermit矩阵的特征值的极值刻画（求特征值极值的方法）
  26. 矩阵奇异值分解

向量范数与矩阵范数

  1. 向量范数(三条性质)
  2. 向量范数满足平行四边形公式时是长度
  3. p-范数
  4. 矩阵范数(三+乘法相容性)
  5. 向量范数导出矩阵范数

必考题

  1. 向量基的定义，证明验证是向量基（5）
  2. 线性映射的定义，检验是不是线性映射 （5）
  3. 线性映射矩阵表示的定义和求线性映射在给定基下的矩阵表示（5）
  4. 不变子空间的定义，及求证(5)
  5. 行列式因子，不变因子，初等因子，第二规范型，第三规范型，若当标准型(5)
  6. 单位模阵的定义（2）
  7. 正交三角分解定理，并求正交三角分解定理（7）
  8. 正规矩阵，Schur定理（7）
  9. 奇异值分解定理，求奇异值分解（7）

48分

  1. A与B等价的定义。（3）
  2. 求等价标准型。（5）
  3. 两矩阵相似的定义。（3）
  4. 矩阵相似的三个等价条件。（3）
  5. V上内积的定义。（3）
  6. 向量组Gram矩阵的定义。（3）
  7. 写出并证明实内积空间中的Cauchy-Schwartz不等式。（3）
  8. Hernite矩阵的定义以及其特征值（3）

26分

  1. 求子空间的一个基，并扩充这组基(5)
  2. 求Jordan标准型并求相应的变换矩阵。（5）
  3. 求最小值问题，求空间到子空间的正交投影矩阵。（10）
  4. 写出酉矩阵的四个等价条件。（3）

23分，少了三分是因为考了两次线性映射在某组基的矩阵表示

写明确，背诵下来

正规矩阵 矩阵分析概念助记 - 图12
幺模阵 矩阵分析概念助记 - 图13，多项式矩阵的可逆矩阵
酉矩阵 矩阵分析概念助记 - 图14,来自于标准正交基
Hermit矩阵 矩阵分析概念助记 - 图15

奇异值分解，是求复空间里的等价标准型的过程。
Shour分解或者正交三角分解算是求复方阵的相似标准型的过程。
Smith或者Jordan标准型是求特征矩阵的等价标准型的过程。