指数加权移动平均（EWMA）控制图

监视个体样本加权累计总和随时间离目标值的偏差。

类似于累积和管制图，指数加权移动平均管制图对于侦测流程平均值微小的偏移相当有用。 指数加权移动平均管制图的功用大致与累积和管制图相同，且在某些方面，较容易设定及操作。 这些图示用来监测依流程收集频率(小时、班、日、周、月等)所取得的样本所算出的平均值。这些收集频率样本的测量值会形成〝次群组〞 每个点会依据以往的资料进行加权，但最近的点被给予更多的权重。 相对于累积和管制图，指数加权移动平均管制图是使用个别的观察值(但也能够使用合理次群组的样本数)。 另一个选择是利用 I-型管制图。

指数加权移动平均管制图仰赖目标值及标准差。 由于这个理由，流程管制后，最好是用来寻找目标值的早期偏差。 一旦平均值及标准差的估计可以取得，指数加权移动平均管制图及累积和管制图对于侦测流程平均值微小的偏移相当有效。

指数加权移动平均的运算

指数加权移动平均值定义为

当 是一个持续的且起始值(所需的样本为) 为流程目标值，为 。 有时，初步的平均值数据会使用指数加权平均值做为起始值，为 。 指数加权平均管制图是由 及样本数(或时间)所构成。 中线及管制界线，中线 ，管制界线为

λ为使用者指定且 区间所定义的， 为最常选择的。 虽然当很小,但使用 (代表常用的 3 个标准差的界线)是合理的,,利用L 介于2.6 和2.8,降低界线的宽度。 使用及 应该会得到控制中的的ARL，且为了侦测流程平均值一个标准差的偏移。 对于 0.2及 ，这会出现异常的讯号，样本数为 11，有偏移。 界线的值会依据每个连续的次群组而改变，但但往往在大约十次群组平稳。

合理次群组

目标平均值也许可以直接输入，或可利用一系列的次群组进行估计。 如果是利用次群组进行估计，总均值的公式为

当样本数的大小随次群组而变化，建议用加权的方法估计标准差。

如果合理次群组的样本数，接着，以取代 ，以取代。

EWMA 示范 (n=1)

|

数据

流程目标值是 与 。
9.45 7.99 9.29 11.66 12.16 10.18 8.04 11.46 9.20 10.34 9.03 11.47 10.51 9.40 10.08 9.37 10.62 10.31 8.52 10.84 10.90 9.33 12.29 11.50 10.60 11.08 10.38 11.62 11.31 10.52
{Montgomery p.335}

完成表 1 的步骤

1. 在你的 Excel 工作表中输入栏位名称。输入引号中的内容，但不包括封闭的引号。
   A1 : “i “ （本次群组的序号）
   B1 : “xi “ （每个样本的数值）
   C1 : “zi “ （使用上述的公式计算累积和）
   D1 : “LCL “ （管制下限）
   E1 : “UCL “ （管制上限）
   F1 : “Y+ “ （如果 EWMA 值超过 UCL，Y=yes ）
   G1 : “Y- “ （如果 EWMA值低于 LCL，Y=yes ）
   2. 完成填充表列 A
   A2 : “0”
   A3 : “=A2+1”
   选择 A3 单元格，向下拖动（复制公式）直到 A22 为止 …
   A32 : “=A30+1”
   确认你的采样序列从 A2:A32 为 0~30。
   3. 将你专案的资料（上述的「资料」）输入 B3:B32。
   4. 在你的资料下方选择流程参数区域，举例来说，从 A34 开始。
   
   图1。流程参数
   A34 : “bar x”, B34 : “10.00”
   A35 : “sigma”, B35 : “1.0”
   A36 : “lambda”, B36 : “0.1”
   A37 : “L“, B37 : “2.7”

2. 在你的资料下方选择流程参数区域，举例来说，从 A34 开始。

C2 : “=$B$34”
6. 计算EWMA栏位。

C3: “=B3$B$36+(1-$B$36)C2”
选择 C3 单元格，向下拖动（复制公式）直到 C32 为止 …
C32: “=B32$B$36+(1-$B$36)C31”
7. 设定管制界限的栏位,以利后续画图。

D3: “=$B$34+$B$37$B$35SQRT(($B$36/(2-$B$36))(1-POWER((1-$B$36),(2A3))))”
E3: “=$B$34-$B$37$B$35SQRT(($B$36/(2-$B$36))(1-POWER((1-$B$36),(2A3))))”
选择 D3 及 E3 单元格，向下拖动（复制公式）直到 E32 为止 …
D32: “=$B$34+$B$37$B$35SQRT(($B$36/(2-$B$36))(1-POWER((1-$B$36),(2A32))))”
E32: “=$B$34-$B$37$B$35SQRT(($B$36/(2-$B$36))(1-POWER((1-$B$36),(2A32))))”
确认你的结果如表 1 的 LCL 及UCL 相同。
请注意，管制界限的宽度增加，因为样本序号增加从i = 1、2、…，直到他们稳定在LCL = 9.38 和UCL = 10.62 的稳定状态值。
8. 监测管制范围是否超出。如果 EWMA vi 超过 UCL vi 或 EWMA_i 低于 LCL_i 则以字母 Y (Y=Yes) 标志样品。

F3: “=IF(C3>E3,”Y”,””)”
G3: “=IF(C3<=D3,”Y”,””)”
Select F3 together with G3, then drag (copy formula) through to G32 so that …
F32: “=IF(C32>E32,”Y”,””)”
G32: “=IF(C32<=D32,”Y”,””)”
Check that your result is a “Y” in cell F31 and F32.
该 EWMA 管制图（图1）指出过程中失控在样本29。 | 表 1。 EWMA 资料 (n=1)

图 2。在表 1 中资料 (n=1) 的 EWMA 曲线图。
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EWMA 示范 (n=1)

|

样本大小总是相同 (>1)

为了监视过程的平均变化，每一天采出五个样品。 以下资料中的每行表示一天的五个采样点。 监测开始于第一行，并继续进行 20 天（资料的最后一行）。 (用户定义的参数在计算中使用的 lambda; = 0.3 和 L = 1.5)。

数据

14.76 14.82 14.88 14.83 15.23
14.95 14.91 15.09 14.99 15.13
14.50 15.05 15.09 14.72 14.97
14.91 14.87 15.46 15.01 14.99
14.73 15.36 14.87 14.91 15.25
15.09 15.19 15.07 15.30 14.98
15.34 15.39 14.82 15.32 15.23
14.80 14.94 15.15 14.69 14.93
14.67 15.08 14.88 15.14 14.78
15.27 14.61 15.00 14.84 14.94
15.34 14.84 15.32 14.81 15.17
14.84 15.00 15.13 14.68 14.91
15.40 15.03 15.05 15.03 15.18
14.50 14.77 15.22 14.70 14.80
14.81 15.01 14.65 15.13 15.12
14.82 15.01 14.82 14.83 15.00
14.89 14.90 14.60 14.40 14.88
14.90 15.29 15.14 15.20 14.70
14.77 14.60 14.45 14.78 14.91
14.80 14.58 14.69 15.02 14.85

SAS User’s Guide
1. 在你的 Excel 工作表中输入栏位名称。输入引号中的内容，但不包括封闭的引号。
A1 : “i “ （采样次组的序号）
B1 : “x1 “ （第一个采样的）
C1 : “x2 “ （第二个采样的）
D1 : “x3 “ （第三个采样的）
E1 : “x4 “ （第四个采样的）
F1 : “x5 “ （第五个采样的）
G1 : “bar x” （次组的平均）
H1 : “zi “ （次组的 EWMA 值）
I1 : “σi “ （次组的标准差值）
J1 : “UCL “ （次组的标准差值）
K1 : “UCL “ （管制下限）
L1 : “CL “ （中线）
1. 在 A 列，设立次组的序列号
A1 : “i “
A2 : “0”
A3 : “=A2+1”
选择 A3 单元格，向下拖动（复制公式）直到 A22 为止 …
A22 : “=A21+1”
确认你的采样序列号从 A2:A22 为 0~20。
2. 把次组的资料输入列 BF从 i = 1 至 20。
3. 在单元格 G3 计算次组的平均。
G3 : “=AVERAGE(B3:F3)”
选择 G3 单元格，向下拖动（复制公式）直到 G22 为止 …
G22 : “=AVERAGE(B22:F22)”
确认你的结果是相同如表 2。
4. 在 I 列计算次组的标准差。
I3: “=STDEV(B3:F3)”
选择 I3 单元格，向下拖动（复制公式）直到 I22 为止 …
I22 : “=STDEV(B22:F22)”
确认你的结果是相同如表 2。
5. 对于 EWMA 计算的起点设置为过程平均。
H2: “=$H$25”
6. 在你的资料下方选择流程参数区域，举例来说，从 G25 开始。

图 3。流程参数 (>1)
G25 : “bar bar x” 所有次组的加权平均
G26 : “lambda” 用户自定
G27 : “L“ 用户自定
G28 : “bar bar S” 所有次组的平均标准偏差
H25 : “=AVERAGE($B$3:$F$22)”
H28 : “=AVERAGE($I$3:$I$22)”

1. 把A列各次组计算其EWMA
   H3: “=$H$26G3+(1-$H$26)H2”
   选择 H3 单元格，向下拖动（复制公式）直到 H22 为止 …
   H22 : “=$H$26G3+(1-$H$26)H21”
   确认你的结果是相同如表 2。
   8. 把 i = 1 的 UCL 计算到 J3。
   J3: “=$H$2+$H$27$H$28SQRT(($H$26/(2-$H$26))(1-POWER((1-$H$26),(2A3))))”
   9. 把 i = 1 的 LCL 计算到 K3。
   K3: “=$H$2-$H$27$H$28SQRT(($H$26/(2-$H$26))(1-POWER((1-$H$26),(2A3))))”
   选择 J3 及 K3 单元格，向下拖动（复制公式）直到 K22 为止 …
   K22 : “=$H$2-$H$27$H$28SQRT(($H$26/(2-$H$26))(1-POWER((1-$H$26),(2A22))))”
   确认你的结果是相同如表 2。
   10. 在图表上填充另一个 L 列，设定为整列等于该过程的平均值。
   L3: “=$H$25”
   选择 L3 单元格，向下拖动（复制公式）直到 L22
   11. 画出你的 EWMA 图。需要注意的是 EWMA_(i=7) 超过管制上限，指出过程失去稳定性。 | 表 2。 EWMA 资料 (>1)
   
   图 4。在表 2 中资料 (>1) 的 EWMA 曲线图。
   

   样本大小不一致

   表 2。样本大小不一致 (>1) 的 EWMA 计算
   
   Montgomery p.218
   样本大小不一致的时候，也使用相同的 Excel 公式来计算子组的平均值的加权平均。
   H25: “=AVERAGE($B$2:$F$26)”
   bar bar x = 74.001
   但计算子组的标准偏差的加权平均（H28），公式
   hat sigma = bar s = [(sum(i=1)^k ((n_i - 1) s_i^2)) / ((sum(i=1)^k n_i) - k) ]^(1/2)
   可以通过标准差的 Excel 公式中列 H 改变来计算：
   H3 : “=(COUNT(B2:F2)-1)*POWER(STDEV(B2:F2),2)”
   选择 H3 单元格，向下拖动（复制公式）直到 H26：
   这之后， 计算子组的标准偏差的加权平均 bar S, 把 H28 的 Excel 公式改为
   H28 : “=POWER(SUM($H$2:$H$26)/(COUNT($B$2:$F$26)-COUNT($H$2:$H$26)),0.5)”
   bar S = 0.01029
   UCL 和 LCL 的 Excel 公式不需要修改。它们的值将显示这些修改的影响。 | | —- | —- |

参考链接

https://en.wikipedia.org/wiki/EWMA_chart

原文链接

https://qi.cch.org.tw/zh-cn/zb/ewma/how-to-draw-ewma-control-charts