第0章公式

一、和差化公式

$高数 - 图1$
$高数 - 图2$
$高数 - 图3$
$高数 - 图4$
$高数 - 图5$ %20%5Csin%20(%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7Dx)#card=math&code=%5Csin%20ax%20-%20%5Csin%20bx%20%3D%202%20%5Ccos%20%28%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7Dx%29%20%5Csin%20%28%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7Dx%29)
$高数 - 图6$ %7D%7B%5Ccos%20x%7D#card=math&code=%5Ctan%20x%20-%20%5Csin%20x%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20x%281-%5Ccos%20x%29%7D%7B%5Ccos%20x%7D)

二、积和差化公式

$高数 - 图7$
$高数 - 图8$
$高数 - 图9$
$高数 - 图10$
$高数 - 图11$
$高数 - 图12$ %20%2B%20%5Csin(%5Calpha%20-%20%5Cbeta)%5D#card=math&code=%5Csin%20%5Calpha%20%5Ccos%20%5Cbeta%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5B%5Csin%20%28%5Calpha%20%2B%20%5Cbeta%29%20%2B%20%5Csin%28%5Calpha%20-%20%5Cbeta%29%5D)
$高数 - 图13$ %20-%20%5Csin(%5Calpha%20-%20%5Cbeta)%5D#card=math&code=%5Ccos%20%5Calpha%20%5Csin%20%5Cbeta%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5B%5Csin%20%28%5Calpha%20%2B%20%5Cbeta%29%20-%20%5Csin%28%5Calpha%20-%20%5Cbeta%29%5D)
$高数 - 图14$ %20%2B%20%5Ccos(%5Calpha%20-%20%5Cbeta)%5D#card=math&code=%5Ccos%20%5Calpha%20%5Ccos%20%5Cbeta%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5B%5Ccos%20%28%5Calpha%20%2B%20%5Cbeta%29%20%2B%20%5Ccos%28%5Calpha%20-%20%5Cbeta%29%5D)
$高数 - 图15$ %20-%20%5Ccos(%5Calpha%20-%20%5Cbeta)%5D#card=math&code=%5Csin%20%5Calpha%20%5Csin%20%5Cbeta%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5B%5Ccos%20%28%5Calpha%20%2B%20%5Cbeta%29%20-%20%5Ccos%28%5Calpha%20-%20%5Cbeta%29%5D)

第一章函数极限连续

一、函数

（一）函数

1、反函数

定义：设函数 $高数 - 图16$ #card=math&code=y%3Df%28x%29)的定义域为 $高数 - 图17$ ，值域为 $高数 - 图18$ 。若对于任意 $高数 - 图19$ ，有唯一确定的 $高数 - 图20$ ，使得 $高数 - 图21$ #card=math&code=y%3Df%28x%29)，则即为 $高数 - 图22$ #card=math&code=x%3Df%5E%7B-1%7D%28y%29)，称其为函数 $高数 - 图23$ #card=math&code=y%3Df%28x%29)的反函数。
注：
- 不是每个函数都有反函数
- 单调函数一定有反函数，反之则不一定（单反）
- $高数 - 图24$ #card=math&code=y%3Df%28x%29)与 $高数 - 图25$ #card=math&code=x%3Df%5E%7B-1%7D%28y%29)图像重合
  $高数 - 图26$ #card=math&code=y%3Df%28x%29)与 $高数 - 图27$ #card=math&code=y%3Df%5E%7B-1%7D%28x%29)图像关于 $高数 - 图28$ 对称
- $高数 - 图29$ %5D%20%3D%20f%5Bf%5E%7B-1%7D(x)%5D%20%3D%20x#card=math&code=f%5E%7B-1%7D%5Bf%28x%29%5D%20%3D%20f%5Bf%5E%7B-1%7D%28x%29%5D%20%3D%20x)

2、初等函数

基本初等函数 | 名称 | 表示 | 定义域 | 值域 | 单调性 | 奇偶性 | 图像 | | :—-: | :—-: | :—-: | :—-: | :—-: | —- | —- | | 幂 | $高数 - 图30$ #card=math&code=y%3Dx%5E%5Cmu%28%5Cmu%E4%B8%BA%E5%AE%9E%E6%95%B0%29) | | | | | | | 指数 | $高数 - 图31$ #card=math&code=y%3Da%5Ex%28a%3E0%2Ca%5Cne1%29) | $高数 - 图32$ #card=math&code=%28-%5Cinfty%2C%20%2B%5Cinfty%29) | $高数 - 图33$ #card=math&code=%280%2C%20%2B%5Cinfty%29) | $高数 - 图34$ 单增 $高数 - 图35$ 单减 | | | | 对数 | $高数 - 图36$ #card=math&code=y%3Dlog_a%20x%20%28a%3E0%2Ca%5Cne1%29) | $高数 - 图37$ #card=math&code=%280%2C%20%2B%5Cinfty%29) | $高数 - 图38$ #card=math&code=%28-%5Cinfty%2C%20%2B%5Cinfty%29) | $高数 - 图39$ 单增 $高数 - 图40$ 单减 | | | | 三角 | $高数 - 图41$ | $高数 - 图42$ #card=math&code=%28-%5Cinfty%2C%20%2B%5Cinfty%29) | $高数 - 图43$ | | 奇 | | | 三角 | $高数 - 图44$ | $高数 - 图45$ #card=math&code=%28-%5Cinfty%2C%20%2B%5Cinfty%29) | $高数 - 图46$ | | 偶 | | | 三角 | $高数 - 图47$ | ${x | x\ne k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z}$ | | | 奇 | | 三角 | $高数 - 图48$ #card=math&code=y%3Dcot%20%5Cspace%20x%28%5Cfrac%7B1%7D%7Btan%5Cspace%20x%7D%29) | ${x | x\ne k\pi,k\in Z}$ | | | 奇 | | 三角 | $高数 - 图49$ #card=math&code=y%3Dsec%20%5Cspace%20x%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%5Cspace%20x%7D%29) | ${x | x\ne k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z}$ | | | 偶 | | 三角 | $高数 - 图50$ #card=math&code=y%3Dcsc%20%5Cspace%20x%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bsin%5Cspace%20x%7D%29) | ${x | x\ne k\pi,x\in Z}$ | | | 奇 | | 反三角 | $高数 - 图51$ | $高数 - 图52$ | $高数 - 图53$ | 单增 | 奇 | | | 反三角 | $高数 - 图54$ | $高数 - 图55$ | $高数 - 图56$ | 单减 | | | | 反三角 | $高数 - 图57$ | $高数 - 图58$ #card=math&code=%28-%5Cinfty%2C%5Cinfty%29) | $高数 - 图59$ #card=math&code=%28-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29) | 单增 | 奇 | | | 反三角 | $高数 - 图60$ | $高数 - 图61$ #card=math&code=%28-%5Cinfty%2C%5Cinfty%29) | $高数 - 图62$ #card=math&code=%280%2C%5Cpi%29) | 单减 | | |

初等函数：由以上基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合所构成并可以用一个式子表示的函数。

基本关系式子
- $高数 - 图63$
- $高数 - 图64$
- $高数 - 图65$
- $高数 - 图66$
- $高数 - 图67$

（二）函数的性质

1、单调性

2、奇偶性

前提：定义域关于原点对称
偶： $高数 - 图68$ %20%3D%20f(-x)#card=math&code=f%28x%29%20%3D%20f%28-x%29)，关于 $高数 - 图69$ 轴对称
奇： $高数 - 图70$ %20%3D%20-f(x)#card=math&code=f%28-x%29%20%3D%20-f%28x%29)，关于原点对称
常见关系
- | 奇 + 奇 = 奇 | 偶 + 偶 = 偶 | | —- | —- | | 奇 奇 = 偶 | 奇 / 奇 = 偶 | | 偶 偶 = 偶 | 偶 / 偶 = 偶 | | 奇 * 偶 = 偶 | 奇 / 偶 = 奇 | | 2k个奇函数之和为偶函数 | （2k+1）个奇函数之和为奇函数 |

常见奇函数与偶函数
- 偶： $高数 - 图71$ %2Bf(-x)#card=math&code=e%5E%7Bcos%5Cspace%20x%7D%2Cx%5E2%2C%20%7Cx%7C%2C%20cos%5Cspace%20x%2C%20f%28x%29%2Bf%28-x%29)
- 奇： $高数 - 图72$ %2C%20%5Cfrac%7Be%5Ex-1%7D%7Be%5Ex%2B1%7D%2C%20f(x)-f(-x)#card=math&code=sin%20%5Cspace%20x%2C%20tan%5Cspace%20x%2C%20arcsin%5Cspace%20x%2C%20arctan%5Cspace%20x%2Cln%7B%5Cfrac%7B1-x%7D%7B1%2Bx%7D%7D%2Cln%28x%2B%5Csqrt%7B1%2Bx%5E2%7D%29%2C%20%5Cfrac%7Be%5Ex-1%7D%7Be%5Ex%2B1%7D%2C%20f%28x%29-f%28-x%29)
- 双非： $高数 - 图73$

3、周期性

4、有界性

有界函数：设 $高数 - 图74$ #card=math&code=y%20%3D%20f%28x%29)在集合 $高数 - 图75$ 上有定义。若存在 $高数 - 图76$ ，使得对任意的 $高数 - 图77$ ，恒有 $高数 - 图78$ %7C%5Cle%20M#card=math&code=%7Cf%28x%29%7C%5Cle%20M)则称 $高数 - 图79$ #card=math&code=f%28x%29)在 $高数 - 图80$ 上为有界函数。
无界函数：设 $高数 - 图81$ #card=math&code=y%20%3D%20f%28x%29)在集合 $高数 - 图82$ 上有定义。如果对任意的 $高数 - 图83$ ，至少存在一个 $高数 - 图84$ ，使得 $高数 - 图85$ %7C%3E%20M#card=math&code=%7Cf%28x_0%29%7C%3E%20M)则称 $高数 - 图86$ #card=math&code=f%28x%29)在 $高数 - 图87$ 上为无界函数。
上界下界：设 $高数 - 图88$ #card=math&code=y%20%3D%20f%28x%29)在集合 $高数 - 图89$ 上有定义。如果存在常数 $高数 - 图90$ 和 $高数 - 图91$ ，使得对任意的 $高数 - 图92$ ，都有 $高数 - 图93$ %20%5Cle%20M_2#card=math&code=M_1%5Cle%20f%28x%29%20%5Cle%20M_2)则称 $高数 - 图94$ #card=math&code=f%28x%29)在 $高数 - 图95$ 上有界。
常见的有界函数：
- $高数 - 图96$
- $高数 - 图97$
- $高数 - 图98$
- $高数 - 图99$
- $高数 - 图100$
- $高数 - 图101$

二、极限

（一）极限的定义

1、数列的极限（收敛）

- $高数 - 图102$ #card=math&code=%5Clim%5Climits_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7Dq%5En%3D0%20%5Cspace%28%7Cq%7C%3C1%29)
- $高数 - 图103$ #card=math&code=%5Clim%5Climits_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E%5Calpha%7D%5D%3D0%5Cspace%28%7C%5Calpha%7C%3C1%29)
若数列 $高数 - 图104$ 收敛于 $高数 - 图105$ ，则其任一子数列也收敛于 $高数 - 图106$
定理： $高数 - 图107$

2、函数的极限

自变量趋于无穷大时函数的极限

-
自变量趋于优先值时函数的极限

-
需要分左、右极限求极限的问题常见以下三种：

分段函数在分界点处的极限，而在该分界点两侧的函数表达式不同（这里也包括带有绝对值的函数，如 $高数 - 图108$ ）
$高数 - 图109$ 型极限（如： $高数 - 图110$ ）
$高数 - 图111$ 型极限（如： $高数 - 图112$ ）

（二）极限的性质

1、极限的性质

有界性
- 数列：
- 函数：
  
  $高数 - 图113$ 不存在

保号性
- 数列：
- 函数：
极限值与无穷小之间的关系：
$高数 - 图114$ %3DA%5Cleftrightarrow%20f(x)%3DA%2B%5Calpha(x)#card=math&code=%5Clim%20f%28x%29%3DA%5Cleftrightarrow%20f%28x%29%3DA%2B%5Calpha%28x%29) 其中 $高数 - 图115$ %3D0#card=math&code=%5Clim%5Calpha%28x%29%3D0)

解题方法：排除法

何时使用：题目中只给出一般函数，即 $高数 - 图116$ #card=math&code=f%28x%29)满足什么条件，而非具体函数，如： $高数 - 图117$ #card=math&code=f%28x%29)

如何使用：选择一个满足题目得特定函数带入进行排除验算。

eg:

（三）极限存在准则

1、夹逼准则

若函数 $高数 - 图118$ %2Cg(x)%2Ch(x)#card=math&code=f%28x%29%2Cg%28x%29%2Ch%28x%29)满足：
- $高数 - 图119$ %5Cle%20f(x)%5Cle%20h(x)#card=math&code=g%28x%29%5Cle%20f%28x%29%5Cle%20h%28x%29)
- $高数 - 图120$ %3D%5Clim%20%5Climits%7Bx%20%5Cto%20x_0%7Dh(x)%3DA#card=math&code=%5Clim%20%5Climits%7Bx%20%5Cto%20x0%7Dg%28x%29%3D%5Clim%20%5Climits%7Bx%20%5Cto%20x_0%7Dh%28x%29%3DA)
- 则： $高数 - 图121$ %3DA#card=math&code=%5Clim%20%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20x_0%7Df%28x%29%3DA)
对于数列也有类似夹逼准则

利用夹逼准则求极限：

放大缩小建立不等式

验证不等式两头的极限存在且相等

常考数列 $高数 - 图122$ 项和

取整函数： $高数 - 图123$

2、单调有界准则

单调有界数列必有极限
单调增、有上界的数列必有极限
单调减、有下界的数列必有极限

常考递推关系，如 $高数 - 图124$ #card=math&code=x_%7Bn%2B1%7D%3Df%28x_n%29)

（四）无穷小量

1、无穷小的概念

定义：
注：提到无穷小量，必须指明极限过程。

2、无穷小的性质

有限个无穷小的和仍是无穷小
有限个无穷小的积仍是无穷小
无穷小量与有界量的积仍是无穷小

3、无穷小的比较

4、常用无穷小量

前提： $高数 - 图125$

$高数 - 图126$
$高数 - 图127$ %5Csim%20x#card=math&code=%5Cln%281%2Bx%29%5Csim%20x)
$高数 - 图128$
$高数 - 图129$
$高数 - 图130$

（五）无穷大量

1、无穷大量的概念

2、无穷大量的性质

两个无穷大量的积仍为无穷大量
无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量
无穷大量与非零常数乘积仍为无穷大量

3、常用的一下无穷大量的比较

4、无穷大量与无界变量的关系

5、无穷大量与无穷小量的关系

（六）极限计算

1、利用基本极限求极限

常用的基本极限

$高数 - 图131$ 为数列极限， $高数 - 图132$ 趋向于正无穷

“ $高数 - 图133$ “型极限常用结论

2、利用等价无穷小代换求极限

代换原则
常用等价无穷小

3、极限的四则运算法则

若 $高数 - 图134$ %20%3D%20A%2C%20%5Cspace%20lim%20%5Cspace%20g(x)%20%3D%20B#card=math&code=lim%20%5Cspace%20f%28x%29%20%3D%20A%2C%20%5Cspace%20lim%20%5Cspace%20g%28x%29%20%3D%20B)，则：

$高数 - 图135$ %20%5Cpm%20g(x)%5D%20%3D%20A%20%5Cpm%20B%20%3D%20lim%5Cspace%20f(x)%20%5Cpm%20lim%5Cspace%20g(x)#card=math&code=lim%5Cspace%20%5Bf%28x%29%20%5Cpm%20g%28x%29%5D%20%3D%20A%20%5Cpm%20B%20%3D%20lim%5Cspace%20f%28x%29%20%5Cpm%20lim%5Cspace%20g%28x%29)
$高数 - 图136$ %20g(x)%5D%20%3D%20AB%20%3D%20lim%5Cspace%20f(x)lim%5Cspace%20g(x)#card=math&code=lim%5Cspace%20%5Bf%28x%29%20g%28x%29%5D%20%3D%20AB%20%3D%20lim%5Cspace%20f%28x%29lim%5Cspace%20g%28x%29)
$高数 - 图137$ %7D%7Bg(x)%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BA%7D%7BB%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Blim%5Cspace(x)%7D%7Blim%20%5Cspace%20g(x)%7D%5Cspace(B%5Cne%200)#card=math&code=lim%5Cfrac%7Bf%28x%29%7D%7Bg%28x%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BA%7D%7BB%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Blim%5Cspace%28x%29%7D%7Blim%20%5Cspace%20g%28x%29%7D%5Cspace%28B%5Cne%200%29)

4、利用洛必达法则求极限

5、利用泰勒公式求极限

6、利用夹逼原理求极限

7、利用单调有界准则求极限

8、利用定积分定义求极限

注意

$高数 - 图138$ 不存在

一些解题方法

$高数 - 图139$ )%5E%7B%5Cbeta(x)%7D%3D%5Clim%5Climits%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D%5B(1%2B%5Calpha(x))%5E%7B%5Cbeta(x)%7D%5D%5E%7B%5Calpha(x)%5Cbeta(x)%7D#card=math&code=1%5E%5Cinfty%20%3D%5Clim%5Climits%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D%281%2B%5Calpha%28x%29%29%5E%7B%5Cbeta%28x%29%7D%3D%5Clim%5Climits%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D%5B%281%2B%5Calpha%28x%29%29%5E%7B%5Cbeta%28x%29%7D%5D%5E%7B%5Calpha%28x%29%5Cbeta%28x%29%7D)
若：![](https://g.yuque.com/gr/latex?%5Clim%5Climits%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D%5Calpha(x)%5Cbeta(x)%3DA#card=math&code=%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D%5Calpha%28x%29%5Cbeta%28x%29%3DA)
则：原式 $高数 - 图140$

高数

第0章 公式