最小生成树

最小生成树
- 朴素版Prim算法
  - 算法描述
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- 参考

最小生成树 - 图1

朴素版Prim算法

算法描述

所有距离初始化为正无穷 dist[i] <—— +oo
n次迭代 for (int i = 0; i < n; i ++)
1. 找到集合外距离最近的点赋值给t
2. 用t更新其他点到集合的距离
3. 把t加到集合中去 st[ti] = true
  Prim算法求最小生成树
  给定一个个顶点条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
  求最小生成树的边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。
  给定一张带权的无向图，其中表示图中点的集合，表示图中边的集合，, 。
  由中全部个顶点和中条边构成的无向连通子图被称为的一棵生成树，其中边权值之和最小的生成树被称为无向图的最小生成树。
  输入格式
  第一行包含两个整数和。
  接下来行，每行包含三个整数,表示点和点之间存在一条权值为的边。
  输出格式
  一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的数边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。
  数据范围
  ,
  ,
  图中涉及边的边权的绝对值不超过10000。
  输入样例
```
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
```
  输出样例
```
6
```
  代码 ```cpp
  include
  include
  include

using namespace std;

const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m; int g[N][N]; int dist[N]; bool st[N];

int prim() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

int res = 0; //存放权值之和
for (int i = 0; i < n; i ++) {
    int t = -1;
    for (int j = 1; j <= n; j ++) 
        if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) 
            t = j;
    //尽早跳出循环防止TLE
    if (i && dist[t] == INF) return INF;
    //需要先累加再更新 防止自环加入的情况 
    if (i) res += dist[t];
    st[t] = true;
    for (int j = 1; j <= n; j ++)  dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
}
return res;

}

int main() { scanf(“%d%d”, &n, &m);

memset(g, 0x3f, sizeof g);

while (m --) {
    int a, b, c;
    scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
    g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);

}

int t = prim();
if (t == INF) puts("impossible");
else printf("%d\n", t);

return 0;

}

<a name="Dut3t"></a>
### Kruskal算法
<a name="Fmj3t"></a>
#### 算法描述

1. 将所有边按权重从小到大顺序排序。时间复杂度O(mlogn)。
1. 枚举每条边a—>b，权重是c。
   1. 如果a b不连通，将这条边加入集合中。
   1. 反之舍去。
<a name="UU4uF"></a>
#### [Kruskal算法求最小生成树](https://www.acwing.com/problem/content/861/)
题目描述同上一题，仅数据范围不同。<br />**数据范围**<br />![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/90ab8358cbba19bcafa95319658d494d.svg#card=math&code=1%5Cleq%20n%20%5Cleq%2010%5E5&id=JqGRR),<br />![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/0543481da6662c83bb898dd50b497639.svg#card=math&code=1%20%5Cleq%20m%20%5Cleq%202%20%2A%2010%5E5&id=ToUlQ),<br />图中涉及边的边权的绝对值不超过1000。<br />**代码**
```cpp
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010, M = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int p[N];

struct Edge{
    int a, b, w;

    bool operator < (const Edge &W) const {
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal() {
    sort(edges, edges + m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        p[i] = i; //初始化并查集
    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++) {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b) {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++;
        }
    }
    if (cnt < n - 1) return INF;
    return res;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 0; i < m; i ++) {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        edges[i] = {a, b, w};
    }

    int t = kruskal();
    if (t == INF) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);

    return 0;
}

参考

搜索与图论（三）

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参考