高斯滤波器是一种线性滤波器，能够有效的抑制噪声，平滑图像

1. 正态分布

一维高斯函数的表达式(PDF)为：

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这里只讲解对应的符号及函数的作用，如果大家有兴趣可以研究一下高斯函数的推导过程，即这个函数是怎么来的：国内文献关于正态分布的推导过程

我们先将公式带入到Desmos图形计算器中：

image.png

得到一个标准的正态分布曲线。（u = 0 , simga = 1）

本质上讲正态分布是整个概率论与数理统计的核心
我们观察会发现大部分的数据集中在中间，而越往两边的数据越少，这种连续随机变量概率分布的情况在生活中息息相关：例如班级里同学的身高，学习成绩好坏，以及传感器采集的信号强弱等。

这里我们直观的认为蓝牙信标的信号采集呈正态分布，那么我们接下来就通过一维的高斯函数来解释信号分布的本质：

1.1 关于s(sigma)

概率密度函数可以理解为随机变量x服从于一个数学期望u, 标准方差为pow(s, 2)的高斯分布。

举例班级里的学习平均成绩为80，则80可以理解为数学期望，而从概率学上来说，s即为班级里学习成绩的标准差，它用来形容班级成绩分布的离散程度。

当s越大，则成绩分布越分散，从图形计算器的表达上可以看出，如果s = 2时：

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当s越小，则成绩分布越集中，例如s = 0.2时：

image.png

1.2 正态分布的sigma原则

sigma原则：

数值分布在（μ-s，μ+s）中的概率为0.6826；

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2sigma原则：

数值分布在（μ-2s，μ+2s）中的概率为0.9544；

image.png

3sigma原则：

数值分布在（μ-3s，μ+3s）中的概率为0.9974；
image.png

从上面三个原则我们可以知道，当x取值超过3sigma基本上是千分之5的概率，在实际实验中是基本不可能发生的。基本上可以把区间（μ-3s,μ+3s）看作是随机变量X实际可能的取值区间，这称之为正态分布的“3sigma”原则。

国外有一个顶尖的对冲基金叫做two-sigma, 这家公司会采用高斯混合模型来进行金融市场动态的预测建模，有兴趣可了解：Two Sigma：通过机器学习识别市场状态

注：这里要推荐一下Desmos在线图形计算工具，省去很多数学模型的绘制工作，太好用了。

2. 高斯滤波

终于进入正题了，我们现在要通过PDF函数对采集的信标信号进行过滤。在前面几篇文章我们提到了一些基础的滤波方法，例如均值滤波等等。。。

使用高斯函数时要注意的是，此函数应用在滤波降噪时，是作为一个建构模型的函数使用，并不是直接带入对应的信号值来计算。

举例来说我们要平滑某次接收到的信号，强度为80. 为了进行高斯滤波，我们需要采样其前后2次信号强度。这样我们就可以得到一个一维数组：

[ 76, 81, 80, 78, 84]

此时，我们带入高斯函数进行计算：

2.1 以80信号作为目标，我们可以设定出一个一一对应下标数组

[-2, -1, 0, 1, 2]

2.2 前面我们知道sigma越大，对应的波形宽度越宽，那么滤波目标受周围信号权重影响越大。这里我们先将此次信号分布作为一个标准的正态分布，则设置s = 1

2.3 因为滤波目标的权重下标为0，带入到PDF函数中 u = 0

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计算出对应的模糊权重数组:

[0.054, 0.242, 0.399, 0.242, 0.054]

这时我们就得到了在设置好的高斯模型下的各点概率，然而这些点的权重加在一起等于0.991, 我们要进行加权平均还需要进行归一化处理。

计算后可得：

[ 0.0545, 0.244, 0.4, 0.244, 0.0545]

2.4 数值加权累加

final rssi = 0.0545 76 + 0.244 81 + 0.399 80 + 0.244 78 + 0.0545 *84 = 79.664

3. 代码实现

基于flutter代码实现高斯滤波demo

  1.   /// 计算高斯filter模板
  2.   List<double> getOneGuassionArray(int size, int kerR, double sigma) {
  3.     if (size % 2 == 0) {
  4.       size -= 1;
  5.     }
  6.     if (size == 0) {
  7.       return [];
  8.     }
  9.     if (kerR > size - 1) {
  10.       return [];
  11.     }
  12.     double sum = 0;
  13.     List<double> arr = List(size);
  15.     for (int i = 0; i < size; i++) {
  16.       arr[i] = exp(-((i - kerR) * (i - kerR)) / (2 * sigma * sigma))  / (sqrt(2 * PI) * sigma);
  17.       sum += arr[i];
  18.     }
  19.     return arr.map((e) => e / sum).toList();
  20.   }
  22.   /// 计算sigma
  23.   double computedSigma(list) {
  24.     double average = getAverage(list);
  25.     double sigmaSum = 0;
  26.     list.forEach((e) {
  27.       sigmaSum += (e - average).abs();
  28.     });
  29.     double sigma = sigmaSum / list.length;
  30.     return sigma;
  31.   }
  34.   /// 求序列平均值
  35.   double getAverage(List list) {
  36.     double sum = 0.0;
  37.     int n = list.length;
  38.     list.forEach((e) {
  39.       sum += e;
  40.     });
  41.     double average = sum / n;
  42.     return average;
  43.   }
  45. /// 高斯滤波
  46.   double sigma = computedSigma(curBeacon['store']);
  47.   int size = curBeacon['store'].length;
  48.   int tmpSize = (size / 2).toInt();
  50.   /// 进行高斯模糊过滤
  51.   /// 计算高斯权重模型
  52.   int r = (tmpSize / 2).floor();
  53.   List models = getOneGuassionArray(tmpSize, r, sigma);
  54.   dynamic ret = 0.0;
  55.   int index = 0;
  56.   List<num> gaussTmp = [];
  57.   curBeacon['store'].forEach((element) {
  58.     if (index >= r && index <= size - r) {
  59.       for (int rIndex = -r; rIndex <= r; rIndex++) {
  60.         ret += element * models[rIndex + r];
  61.       }
  62.     } else {
  63.       ret = element;
  64.     }
  65.     index += 1;
  66.     gaussTmp.add(ret);
  67.     ret = 0.0;
  68.   });

到这里，我们基本上了解了高斯函数与滤波，如有兴趣可以阅读下面几篇文章进行拓展：

  1. 通过shader实现高斯分布
  2. 通过shader实现高斯模糊（二维高斯函数）