基本概念

字面解释，分而治之，即把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

💡 Tips：当子问题足够大时，需要递归求解时，我们称之为递归情况（Recursive Case）。当子问题变得足够小，不再需要递归时，表示递归已经“触底”，进入了基本情况（Base Case）。

基本思想及策略

分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题相互独立 且与原问题形式相同，递归求解这些子问题，然后将各个子问题的解 合并 得到原问题的解。
如果原问题可分割成k个子问题，1≤k≤n，且这些子问题都可解 并可利用这些子问题的解 求出 原问题的解，那么这种分治法是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

使用场景

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；
第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、
第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤：
step1 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
step2 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题;
step3 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
它的一般的算法设计模式如下：

  1. Divide-and-Conquer(P)
  3. 　　if |P|≤n0
  5. 　　then return(ADHOC(P))
  7. 　　△ 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk
  9. 　　for i←1 to k
  11. 　　do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
  13. 　　T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合并子问题
  15. 　　return(T)

其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。

复杂性分析

一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：
T(n) = k T(n/m)+f(n)
通过迭代法求得方程的解：
递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当mi≤n

经典问题

可使用分治法求解的一些经典问题：

  • 快速排序（按照元素的值进行划分）、归并排序（按照元素在列表中的位置进行划分）
  • 二分搜索（二分查找）
  • 大整数乘法、Strassen矩阵乘法
  • 棋盘覆盖
  • 线性时间选择
  • 最接近点对问题
  • 循环赛日程表
  • 傅立叶变换

  • 汉诺塔

    经典问题求解代码实现

    快速排序(Quick Sort)

    const quickSort = function(arr) {
// 校验、边缘检测
if (arr.length <= 1) {
  return arr;
}
// 找到基线，并对基线左右做声明
let pivotIndex = Math.floor(arr.length / 2);
let pivot = arr.splice(privotIndex, 1);
let left = [], right = [];

// 遍历当前的内容，按照基线划分左右
for (let i = 0; i < arr.length; i++) {
  if (arr[i] < privot) {
    left.push(arr[i]);
  } else {
    right.push(arr[i]);
  }
}

// 递归处理，不断根据新的基线生成新内容，并进行连接
return quickSort(left).concat([pivot], quickSort(right));
}

    根据上面提到的分治法的复杂性分析，在快排中，k为2，m也为2，所以分治对应所需时间为：
    T(n) = 2T(n/2) + f(n)
    在每一层上的时间复杂度为：第一层时间 tn （t为比较一次所用的时间）；第二层数组被分为两部分，每部分n/2，所以第二层时间为 tn/2 + tn/2 = tn；同样第三层被分为四部分，时间为 tn/4 + tn/4 + tn/4 + tn/4 = tn；…
    层高为log2n层，每一层都是tn，所以共消耗时间为 tnlog2n，则总时间为 tnlog2n + tn = tn(1+log2n) 即 Ѳ(nLog2n) O(nlogn)

    归并排序(Merge Sort)