有理数及其基本运算

关于有理数的简单定义

有理数是数学这一科学当中对数字的一种概念定义

有理数是整数与分数这两类数字所构成的集合的一种统称，实际上我们也可以将该集合当中的整数看做是分母数字等于1的分数，与有理数相对的概念就是无理数。
负数是和正数表示“相反意义”的量
比如我向前跑了-8米 也就是向后跑了8米
这样我们的数，就有0 1 2 3和0 -1 -2 -3
整数 和 分数，统称为有理数
而分数一定是两个整数的商（而整数 3可以看成3/1）
所以 我们可以用一句话 把这些有理数放在一起：“能表示为两个整数的商的数（0不是分母）”就叫它有理数
这些有理数可以说是包含了我们日常生活的大部分玩意
能表示为p/q (q≠0） 的数就是有理数（p和q都是整数嗷）

绝对值/数轴/集合

集合

是我们研究的，一堆东西；一堆互不重复的东西

数轴

数轴中，越往右边越大，所以根据负数“相反意义”的定义，负数就肯定在左边

绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示
只有负数的绝对值才可以反过来（去掉负号）
所以，正数的绝对值是正的，负数的绝对值也是正的，负数的绝对值也是正的
两个正数比大小，绝对值大的就肯定大；两个负数比大小，绝对值大的反而小
也就是 负数的比较大小和正数是相反的
绝对值说白了，就是去了正负号：把一个数的正负号都扔了，就是绝对值！
如果俩数啥都相同，也就是正负号不同，那他俩就互为相反数
一对相反数，加起来一定等于0（绝对值相等）
当a是正数时，a的绝对值等于a；当a是负数时，a的绝对值等于-a；当a是0时，a的绝对值等于0

乘方

乘方表示几个相同因数相乘

2³

读作二的三次方
表示3个2相乘
在这里，2为“底数”，3为指数

幂

乘方的运算结果叫“幂”
负数的乘方运算
当底数带着括号的时候，他代表着负数乘方计算；不带括号则代表正数乘方计算

易错点

1. （-2）³ 读作 负二的三次方
2. -2³ 读作 负的二的三次方或者 二的三次方的相反数

   平方与立方

   a²也可以读作 a的平方
   a³也可以读作 a的立方

科学记数法

科学记数法是把一个大数分成两个部分，比如说a可以写为 一个数 x（一定要是10的几次方哦！）

有理数的四则运算

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法则

负数+负数＝负数，正数+正数＝正数
负数x正数＝负数

负数相加/乘运算规律
1.负数相加/乘结果取负号
2.再把各自的数字部分相加/乘
（异号相乘的负，并把绝对值相乘）
（0乘任何数都等于0）
(负负得正！)

有理数的减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数
a - b ＝ a + (-b)
两个负号连在一起，互相抵消，变加号
3-(-3) ＝ 3+3
正数+负数=正数-正数
-17.5-7.5 ＝ -17.5+(-7.5)

有理数的除法法则：
异号两数想除结果得负，再把两数绝对值相除
有理数的除法也“负负得正”

有理数除法变乘法法则：
把除以一个数变成乘以这个数的倒数
tips：倒数只对调分母和分子的位置，符号不变
什么时候变：
1.要除的数是分数
2.乘法 除法混合运算的时候

有理数混合运算
1.先算乘方再算乘除，最后算加减
2.从内向外：如果有括号先算小括号里的，再算中括号，最后算大括号
3.从左向右：同级计算，按照从左至右的顺序来计算

函数

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认识函数

函数的定义

一般地，在一个变化的过程中，有两个变量x,y 如果x每取一个值，y都有唯一的值与他对应，那么x就是自变量，y就是x的函数。

函数图像

函数图像的定义

一般地，对于一个函数，
如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，
那么坐标平面内这些点组成的图形就是这个函数的图像。

如何绘制函数图像

描点法

step1 列表
step2 描点
step3 连线
口诀：一列，二描，三连线
注意事项：
1、列表和描点时不要放过关键值，比如头尾
2、要取尽可能多的点
3、用平滑的曲线连接——当然连出来可能是直线

正比例函数

定义及其性质

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数
正比例函数的图像是过原点的一条直线
正比例的函数图像的位置由k决定，k>0,直线位于一三象限，k<0,直线经过二四象限
正比例函数图像的变化情况由k值决定:k>0时，直线从左到右逐渐上升，y随x的增大而增大，k<0,直线从左到右逐渐下降，y随x的增大而减小。

|k|越大，倾斜程度就越大,|k|越小，倾斜程度就越小

反比例函数

定义

一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数，
叫做反比例函数。
其中x是自变量，
y是x的函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数

（实数，是有理数和无理数的总称）

双曲线

被一条曲线不断贴近却永远不与之相交的直线，则被称为这条曲线的渐近线。

三角函数

正弦

定义
在Rt△ABC中，∠C = 90°，我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记做sinA
sinA = a/c

余弦

定义
在Rt△ABC中，∠C = 90°，我们把锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记做cosA
cosA = b/c

正切

定义
在Rt△ABC中，∠C = 90°，我们把锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记做tanA
tanA = a/b

余切

定义
在Rt△ABC中，∠C = 90°，我们把锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记做cotA
cotA = b/a

     1. 常见情况
     1.             30°        45°            60°
     1. sin      1/2       √2/2      √3/2
     1. cos     √3/2     √2/2      2/1
     1. tan     √3/3      1             √3
     1. cot      √3         1            √3/3