红黑树

什么是“平衡二叉查找树”？

平衡二叉树的严格定义是这样的：二叉树中任意一个节点的左右子树的高度相差不能大于 1。
从这个定义来看，完全二叉树、满二叉树其实都是平衡二叉树，但是非完全二叉树也有可能是平衡二叉树。

平衡二叉查找树不仅满足上面平衡二叉树的定义，还满足二叉查找树的特点。最先被发明的平衡二叉查找树是AVL 树，它严格符合我刚讲到的平衡二叉查找树的定义，即任何节点的左右子树高度相差不超过 1，是一种高度平衡的二叉查找树。

但是很多平衡二叉查找树其实并没有严格符合上面的定义（树中任意一个节点的左右子树的高度相差不能大于 1），比如我们下面要讲的红黑树，它从根节点到各个叶子节点的最长路径，有可能会比最短路径大一倍。

发明平衡二叉查找树这类数据结构的初衷是，解决普通二叉查找树在频繁的插入、删除等动态更新的情况下，出现时间复杂度退化的问题。

所以，平衡二叉查找树中“平衡”的意思，其实就是让整棵树左右看起来比较“对称”、比较“平衡”，不要出现左子树很高、右子树很矮的情况。这样就能让整棵树的高度相对来说低一些，相应的插入、删除、查找等操作的效率高一些。
**
所以，如果我们现在设计一个新的平衡二叉查找树，只要树的高度不比 log2n 大很多（比如树的高度仍然是对数量级的），尽管它不符合我们前面讲的严格的平衡二叉查找树的定义，但我们仍然可以说，这是一个合格的平衡二叉查找树。

如何定义一棵“红黑树”？

红黑树的英文是“Red-Black Tree”，简称 R-B Tree。它是一种不严格的平衡二叉查找树。

顾名思义，红黑树中的节点，一类被标记为黑色，一类被标记为红色。除此之外，一棵红黑树还需要满足这样几个要求：

• 根节点是黑色的；
• 每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL），也就是说，叶子节点不存储数据；
• 任何相邻的节点都不能同时为红色，也就是说，红色节点是被黑色节点隔开的；
• 每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点；

为什么说红黑树是“近似平衡”的？

平衡二叉查找树的初衷，是为了解决二叉查找树因为动态更新导致的性能退化问题。所以，“平衡”的意思可以等价为性能不退化。“近似平衡”就等价为性能不会退化得太严重。
**

实现红黑树的基本思想

左旋全称其实是叫围绕某个节点的左旋，那右旋的全称估计你已经猜到了，就叫围绕某个节点的右旋。

插入操作的平衡调整

红黑树规定，插入的节点必须是红色的。而且，二叉查找树中新插入的节点都是放在叶子节点上。所以，关于插入操作的平衡调整，有这样两种特殊情况，但是也都非常好处理。

• 如果插入节点的父节点是黑色的，那我们什么都不用做，它仍然满足红黑树的定义。
• 如果插入的节点是根节点，那我们直接改变它的颜色，把它变成黑色就可以了。

除此之外，其他情况都会违背红黑树的定义，于是我们就需要进行调整，调整的过程包含两种基础的操作：左右旋转和改变颜色。

红黑树的平衡调整过程是一个迭代的过程。我们把正在处理的节点叫做关注节点。关注节点会随着不停地迭代处理，而不断发生变化。最开始的关注节点就是新插入的节点。

新节点插入之后，如果红黑树的平衡被打破，那一般会有下面三种情况。我们只需要根据每种情况的特点，不停地调整，就可以让红黑树继续符合定义，也就是继续保持平衡。

为了简化描述，这里把父节点的兄弟节点叫做叔叔节点，父节点的父节点叫做祖父节点。

CASE 1：如果关注节点是 a，它的叔叔节点 d 是红色，我们就依次执行下面的操作：

• 将关注节点 a 的父节点 b、叔叔节点 d 的颜色都设置成黑色；
• 将关注节点 a 的祖父节点 c 的颜色设置成红色；
• 关注节点变成 a 的祖父节点 c；
• 跳到 CASE 2 或者 CASE 3。

CASE 2：如果关注节点是 a，它的叔叔节点 d 是黑色，关注节点 a 是其父节点 b 的右子节点
**

• 关注节点变成节点 a 的父节点 b；
• 围绕新的关注节点b 左旋；
• 跳到 CASE 3。

CASE 3：如果关注节点是 a，它的叔叔节点 d 是黑色，关注节点 a 是其父节点 b 的左子节点，
**

• 围绕关注节点 a 的祖父节点 c 右旋；
• 将关注节点 a 的父节点 b、兄弟节点 c 的颜色互换。
• 调整结束。

删除操作的平衡调整

删除操作的平衡调整分为两步，第一步是针对删除节点初步调整。初步调整只是保证整棵红黑树在一个节点删除之后，仍然满足最后一条定义的要求，也就是说，每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点；第二步是针对关注节点进行二次调整，让它满足红黑树的第三条定义，即不存在相邻的两个红色节点。

1. 针对删除节点初步调整

这里需要注意一下，红黑树的定义中“只包含红色节点和黑色节点”，经过初步调整之后，为了保证满足红黑树定义的最后一条要求，有些节点会被标记成两种颜色，“红 - 黑”或者“黑 - 黑”。如果一个节点被标记为了“黑 - 黑”，那在计算黑色节点个数的时候，要算成两个黑色节点。

在下面的讲解中，如果一个节点既可以是红色，也可以是黑色，在画图的时候，我会用一半红色一半黑色来表示。如果一个节点是“红 - 黑”或者“黑 - 黑”，我会用左上角的一个小黑点来表示额外的黑色。

CASE 1：如果要删除的节点是 a，它只有一个子节点 b
**

• 删除节点 a，并且把节点 b 替换到节点 a 的位置，这一部分操作跟普通的二叉查找树的删除操作一样；
• 节点 a 只能是黑色，节点 b 也只能是红色，其他情况均不符合红黑树的定义。这种情况下，我们把节点 b 改为黑色；
• 调整结束，不需要进行二次调整。

CASE 2：如果要删除的节点 a 有两个非空子节点，并且它的后继节点就是节点 a 的右子节点 c。
**

• 如果节点 a 的后继节点就是右子节点 c，那右子节点 c 肯定没有左子树。我们把节点 a 删除，并且将节点 c 替换到节点 a 的位置。这一部分操作跟普通的二叉查找树的删除操作无异；
• 然后把节点 c 的颜色设置为跟节点 a 相同的颜色；
• 如果节点 c 是黑色，为了不违反红黑树的最后一条定义，我们给节点 c 的右子节点 d 多加一个黑色，这个时候节点 d 就成了“红 - 黑”或者“黑 - 黑”；
• 这个时候，关注节点变成了节点 d，第二步的调整操作就会针对关注节点来做。

CASE 3：如果要删除的是节点 a，它有两个非空子节点，并且节点 a 的后继节点不是右子节点
**

• 找到后继节点 d，并将它删除，删除后继节点 d 的过程参照 CASE 1；
• 将节点 a 替换成后继节点 d；
• 把节点 d 的颜色设置为跟节点 a 相同的颜色；
• 如果节点 d 是黑色，为了不违反红黑树的最后一条定义，我们给节点 d 的右子节点 c 多加一个黑色，这个时候节点 c 就成了“红 - 黑”或者“黑 - 黑”；
• 这个时候，关注节点变成了节点 c，第二步的调整操作就会针对关注节点来做。

2. 针对关注节点进行二次调整

经过初步调整之后，关注节点变成了“红 - 黑”或者“黑 - 黑”节点。针对这个关注节点，我们再分四种情况来进行二次调整。二次调整是为了让红黑树中不存在相邻的红色节点。

CASE 1：如果关注节点是 a，它的兄弟节点 c 是红色的
**

• 围绕关注节点 a 的父节点 b 左旋；
• 关注节点 a 的父节点 b 和祖父节点 c 交换颜色；
• 关注节点不变；
• 继续从四种情况中选择适合的规则来调整。

CASE 2：如果关注节点是 a，它的兄弟节点 c 是黑色的，并且节点 c 的左右子节点 d、e 都是黑色的
**

• 将关注节点 a 的兄弟节点 c 的颜色变成红色；
• 从关注节点 a 中去掉一个黑色，这个时候节点 a 就是单纯的红色或者黑色；
• 给关注节点 a 的父节点 b 添加一个黑色，这个时候节点 b 就变成了“红 - 黑”或者“黑 - 黑”；
• 关注节点从 a 变成其父节点 b；
• 继续从四种情况中选择符合的规则来调整。

CASE 3：如果关注节点是 a，它的兄弟节点 c 是黑色，c 的左子节点 d 是红色，c 的右子节点 e 是黑色
**

• 围绕关注节点 a 的兄弟节点 c 右旋；
• 节点 c 和节点 d 交换颜色；
• 关注节点不变；
• 跳转到 CASE 4，继续调整。

CASE 4：如果关注节点 a 的兄弟节点 c 是黑色的，并且 c 的右子节点是红色的
**

• 围绕关注节点 a 的父节点 b 左旋；
• 将关注节点 a 的兄弟节点 c 的颜色，跟关注节点 a 的父节点 b 设置成相同的颜色；
• 将关注节点 a 的父节点 b 的颜色设置为黑色；
• 从关注节点 a 中去掉一个黑色，节点 a 就变成了单纯的红色或者黑色；
• 将关注节点 a 的叔叔节点 e 设置为黑色；
• 调整结束。