1.基本介绍

（1）黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一 部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意向不大的效果。
（2）斐波那契数列{1, 1,2, 3,5, 8, 13,21,34, 55 }发现斐波那契数列的两个相邻数的比例，无限接近黄金分割值
0.618
斐波那契数列：数组前两个元素为1，从第三个元素开始，第三个及后面的元素的值是前两个元素之和

2.斐波那契(黄金分割法)原理

斐波那契查找原理与前（二分查找、插值查找）相似，仅仅改变了中间结点(mid)的位置，mid不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即mid=low+F(k-1)-1 (F 代表斐波那契数列)，如下图所示
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对F(k-1)-1的理解：
（1）由斐波那契数列F[k]=F[k-1]+F[k-2] 的性质，可以得到(F[k]-1) = (F[k-1]-1) + (F[k-2]-1) +1。该式说明:只要顺序表的长度为F[k]-1,则可以将该表分成长度为F[k-1]-1和F[k-2]-1的两段，即如上图所示。从而中间位置为mid=low+F(k-1)-1
（2）类似的，每一子段也可以用相同的方式分割
（3）但顺序表长度n不一定刚好等于F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度n增加至F[k]-1。这里的k值只要能使
得F[k]-1恰好大于或等于n即可，由以下代码得到,顺序表长度增加后，新增的位置(从n+1到F[k]-1位置)，
都赋为n位置的值即可。
while(n>fib(k)-1)
k++;

3.斐波那契查找应用案例

请对一个有序数组进行斐波那契查找{1,8, 10, 89, 1000, 1234}，输入-一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示”没有这个数”。
代码实现

  2. public class FibonacciSearch {
  4.     public static int maxSize = 20;
  5.     public static void main(String[] args) {
  6.         int [] arr = {1,8, 10, 89, 1000, 1234};
  8.         System.out.println("index=" + fibSearch(arr, 189));// 0
  10.     }
  12.     //因为后面我们mid=low+F(k-1)-1，需要使用到斐波那契数列，因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
  13.     //非递归方法得到一个斐波那契数列
  14.     public static int[] fib() {
  15.         int[] f = new int[maxSize];
  16.         f[0] = 1;
  17.         f[1] = 1;
  18.         for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
  19.             f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
  20.         }
  21.         return f;
  22.     }
  24.     //编写斐波那契查找算法
  25.     //使用非递归的方式编写算法
  26.     /**
  27.      * 
  28.      * @param a  数组
  29.      * @param key 我们需要查找的关键码(值)
  30.      * @return 返回对应的下标，如果没有-1
  31.      */
  32.     public static int fibSearch(int[] a, int key) {
  33.         int low = 0;
  34.         int high = a.length - 1;
  35.         int k = 0; //表示斐波那契分割数值的下标
  36.         int mid = 0; //存放mid值
  37.         int f[] = fib(); //获取到斐波那契数列
  38.         //获取到斐波那契分割数值的下标
  39.         while(high > f[k] - 1) {
  40.             k++;
  41.         }
  42.         //因为 f[k] 值 可能大于 a 的 长度，因此我们需要使用Arrays类，构造一个新的数组，并指向temp[]
  43.         //不足的部分会使用0填充
  44.         int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
  45.         //实际上需求使用a数组最后的数填充 temp
  46.         //举例:
  47.         //temp = {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0}  => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234,}
  48.         for(int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
  49.             temp[i] = a[high];//填充用最后一个数值，满足有序
  50.         }
  52.         // 使用while来循环处理，找到我们的数 key
  53.         while (low <= high) { // 只要这个条件满足，就可以找
  54.             mid = low + f[k - 1] - 1;
  55.             if(key < temp[mid]) { //我们应该继续向数组的前面查找(左边)
  56.                 high = mid - 1;
  57.                 //为甚是 k--
  58.                 //说明
  59.                 //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
  60.                 //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
  61.                 //因为 前面有 f[k-1]个元素,所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
  62.                 //即 在 f[k-1] 的前面继续查找 k--
  63.                 //即下次循环 mid = f[k-1-1]-1
  64.                 k--;
  65.             } else if ( key > temp[mid]) { // 我们应该继续向数组的后面查找(右边)
  66.                 low = mid + 1;
  67.                 //为什么是k -=2
  68.                 //说明
  69.                 //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
  70.                 //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
  71.                 //3. 因为后面我们有f[k-2] 所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-3] + f[k-4]
  72.                 //4. 即在f[k-2] 的前面进行查找 k -=2
  73.                 //5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1
  74.                 k -= 2;
  75.             } else { //找到
  76.                 //需要确定，返回的是哪个下标
  77.                 if(mid <= high) {
  78.                     return mid;
  79.                 } else {
  80.                     return high;
  81.                 }
  82.             }
  83.         }
  84.         return -1;
  85.     }
  86. }