Chapter 5 | 位操作

位操作用于处理各种各样的问题。有时候，会有问题明确说明需要通过位操作处理。但也有时候，位操纵只是被当做一种优化代码的技术来使用。你应该熟悉位操作，无论是手动计算还是使用代码实现。请小心，在进行位操作时很容易犯小错误。

手动位操作

如果你对位操作有些生疏，可以试试下面的手动计算练习。其中第三列中的项目可以完全靠手动解决，也可以使用一些“技巧”（如下所述）。为了简单起见，假设使用的都是四位的数字。

如果你搞混了，就将它们作为基数 10 （译者注，即十进制）进行处理。然后可以对二进制数应用相同的处理过程。记住 ^ 表示一个 XOR（异或），而 ~ 是一个 NOT（否定）。

Chapter 5 | 位操作 - 图1
第三栏使用的技巧分别如下：

  1. 0110 + 0110 等于0110 * 2，相当于将 0110 左移 1 位。

  2. 0100 等于 4，乘以 4 就是左移 2 位。将 0011 左移 2 位，得到 1100。

  3. 考虑将计算过程分解成一位一位地进行。如果将某位与它自己的否定值进行异或（XOR），则始终会得到 1。因此，a^(~a) 的解将是一个全部由 1 组成的序列。

  4. ~0 会得到一个全部由 1 组成的序列，所以 ~0 << 2 结果是 1 的序列后面加两个 0。与另一个值按位与（AND）的话，将使该值的最后两位清零。

如果你没有立即想到这些技巧的话，请从逻辑上来考虑解决。

位操作的真相和技巧

下列表达式在位操作中很有用。不过，不要只是记住它们，仔细想想为什么这些都是正确的。我们使用 “1s” 和 “0s” 分别表示 1 或 0 的序列。

Chapter 5 | 位操作 - 图2
要理解这些表达式，请回想一下这些操作是逐位发生的，其中一个位上发生的操作不会影响其他位。这意味着如果上述一个语句对于单个位为真，那么对于一个位序列也是正确的。

二进制补码和负数

计算机通常以二进制补码的形势存储整数。正数表示为自身，而负数表示为其绝对值的二进制补码（其符号位为 1 表示负值）。N 位数的二进制补码（其中 N 是用于该数字的位数，不包括符号位）是该数字关于 2^N 的补码。

让我们以 4 位整数 -3 为例。如果是一个 4 位的数字，我们有一位用于符号，三位用于该值。我们可以求关于 2^3 的补码，也就是 8。3（-3 的绝对值）关于 8 的补码（The complement of 3 with respect to 8，译者注，即 8 - 3）是 5。二进制中的 5 是 101。因此，二进制中 4 位数字的 -3 是1101，第一位是符号位。

换句话说，作为 N 位数字 -K（负K）的二进制表示是 concat(1, (2^N-1) - K)。

另一种理解方法是我们把正数表示中的各位取反，然后加1。3 在二进制中是 011。将各位取反得到 100，加 1 得到 101，然后将符号位 (1) 前置得到 1101。

在四位整数中，这将如下所示。

Chapter 5 | 位操作 - 图3
观察到左边和右边的整数的绝对值之和总是为 2^3，并且左边和右边的二进制值是相同的，除了符号位。这是为什么呢？

算术右移 vs. 逻辑右移

右移操作符有两种类型。算术右移本质上就是除以 2。逻辑上的右移就是我们在视觉上看到的位的移动。这在负数上最能够体现。

在逻辑右移中，我们将位向右移位，并将0置于最高位。它由 >>> 运算符表示。对于8位整数（符号位是最高位）上，这将如下图所示。符号位用灰色背景表示。

Chapter 5 | 位操作 - 图4
在算术右移中，我们将值向右移动，但用符号位的值填充空出的新位。

这（大致）具有除以 2 的效果。它由 >> 运算符表示。

Chapter 5 | 位操作 - 图5
参数为 x=-93242 和 count=40 时，你觉得这些函数的运行结果会是什么？

  1. 1     int repeatedArithmeticShift(int x, int count) {
  2. 2         for (int i = 0; i < count; i++) {
  3. 3             x >>= 1; // Ar ith met ic shift by 1
  4. 4        }
  5. 5         return x;
  6. 6    }
  7. 7
  8. 8     int repeatedLogicalShift( int x, int count) {
  9. 9         for (int i = 0; i < count; i++) {
  10. 10             x >>>= 1; // Logical shift by 1
  11. 11        }
  12. 12         return x;
  13. 13    }

逻辑移位操作下，我们最终会得到 0，因为我们不断地把 0 移到最高位上。

算术移位操作下，我们会得到 -1，因为我们不断地把 1 移到最高位上。一个全部由 1 组成的序列若指的是（带符号）整数，则其表示 -1。

常见的位操作方法：Getting 和 Setting

以下操作非常重要，但不要只是简单地记住它们。死记硬背只会导致你犯无法弥补的错误。相反，要理解如何实现这些方法，以便你可以解决这些以及其他的位操作问题。

Get Bit

此方法将 1 向左移位 i 位，创建一个类似于 00010000 的值。通过将前面得到的结果与 num 执行按位与（AND）操作，我们清除了 num 中除了第 i 位之外的所有位。最后，我们将其与 0 进行比较。如果结果不为零，则第 i 位必须为 1。不然则为0。

  1. 1     boolean getBit(int num, int i) {
  2. 2         return ((num & (1 << i)) != 0);
  3. 3     }

Set Bit

setBit 方法将 1 向左移位 i 位，创建一个类似于 00010000 的值。通过将前面得到的结果与 num 执行按位或（OR）操作，只有第 i 位的值才会改变。掩码（mask）的其他所有位都是零，因此按位或操作时不会影响 num 上其他各位的值。

  1. 1     int setBit(int num, int i) {
  2. 2         return num | ( 1 << i);
  3. 3     }

Clear Bit

该方法几乎与 setBit 相反。首先，我们创建一个像 11101111 这样的数字，具体操作是通过创建它的倒数（00010000）并对其进行取反运算。然后，我们将其与 num 执行按位与（AND）。这将清除第 i 位，其余部分保持不变。

  1. 1     int clearBit(int num, int i) {
  2. 2         int mask = ~(1 << i);
  3. 3         return num & mask;
  4. 4     }

为了从最高有效位（most significant bit）到第 i 位（包括 i）清除所有位，我们在第 i 位创建一个1的掩码（1 << i）。然后，我们将其减去 1，得到一个由 0 组成的序列，并且后面跟着 i 个 1。然后我们用这个掩码和 num 执行按位与（AND），最终只留下最后的 i 位。

  1. 1     int clearBitsMSBthroughI(int num, int i) {
  2. 2         int mask = (1 << i) - 1;
  3. 3         return num & mask;
  4. 4     }

要清除从第 i 位到第 0 位（包括0）的所有位，我们采用全部由 1 组成的序列（即-1），并将其向左移位 i + 1 位。我们得到一个由 1 组成的序列（在最高有效位上都是 1），并且后面跟着 i 个 0。

  1. 1     int clearBitsithrough0(int num, int i) {
  2. 2         int mask = (-1 << (i + 1));
  3. 3         return num & mask;
  4. 4     }

Update Bit

要将第 i 位设置为值 v，我们首先使用看起来像 11101111 的掩码清除第 i 位的值。然后，我们将预期值 v，左移 i 位。这将创建一个第 i 位等于 v，其他位所有为0的数字。最后，我们对这两个数字进行按位或（OR）运算，如果 v为 1 则更新第 i 位，否则保持它为0。

  1. 1     int updateBit(int num, int i, boolean bitIs1) {
  2. 2         int value = bitIs1 ? 1 : 0;
  3. 3         int mask = ~(1 << i);
  4. 4         return (num & mask) | (value << i);
  5. 5     }

Interview Questions

  • 5.1 插入（Insertion）：给定两个 32 位数字 N 和 M，以及两个位置 i 和 j。编写一个将 M 插入 N 的方法，使 M 从 N 的第 j 位开始插入，到第 i 位结束。你可以假定 j 到 i 位有足够的空间来容纳所有 M。也就是说，如果 M = 10011，则可以假定 j 和 i 之间至少有 5 位。例如，不会给你 j = 3 和 i = 2，因为 M 不能全部放到第 3 位和第 2 位之间。

    EXAMPLE

    1. Input: N = 10000000000, M = 10011, i = 2, j = 6
    2. Output: N = 10001001100

    提示：#137, #769, #215

  • 5.2 二进制到字符串（Binary to String）：给定一个在 0 和 1 之间的实数（例如 0.72）并以 double 类型传入参数，打印出它的二进制表示形式。如果这个数字不能用最多 32 个字符的二进制形式表示，就打印 “ERROR”。

    提示：#743, #767, #773, #269, #297

  • 5.3 翻转位取胜（Flip Bit to Win）：给定有一个整数，你可以将 0 变成到 1 ，正好翻转一位。编写代码来查找你可以创建的最长的由数字 1 组成的序列的长度。

    5.3翻转位以赢得:你有一个整数，你可以将 0 变成到 1 正好翻转一位。编写代码来查找你可以创建的最长的由数字 1 组成的序列的长度。

    EXAMPLE

    1. Input: 1775 (or: 11011101111)
    2. Output: 8

    提示：#759, #226, #374, #352

  • 5.4 下一个数字（Next Number）：给定一个正整数，打印下一个最小的数字和下一个最大的数字，满足它们的二进制表示中 1 的位数相同。

    提示：#747, #7 75, #242, #372, #339, #358, #375, #390

  • 5.5 调试器（Debugger）：解释以下代码的作用：((n & (n-1)) == 0)。

    提示：#757, #202, #267, #302, #346, #372, #383, #398

  • 5.6 转换（Conversion）：编写一个函数，以确定需要翻转多少位才能将整数 A 转换为整数 B。

    5.6转换:编写一个函数，以确定需要翻转多少位才能将整数 A 转换为整数 B。

    EXAMPLE

    1. Input: 29 (or: 11101), 15 (or: 01111)
    2. Output: 2

    提示：#336, #369

  • 5.7 成对交换（Pairwise Swap）：编写一个程序，用尽可能少的指令交换整数中的奇数位和偶数位（例如，交换第 0 位和第 1 位，交换第 2 位和第 3 位，依此类推）。

    提示：#745, #248, #328, #355

  • 5.8 画线（Draw Line）：一个黑白屏幕被存储为单个字节数组，允许将 8 个连续像素存储在一个字节中。 屏幕的宽度为 w，其中 w 可被 8 整除（也就是说，没有字节将被跨行分割）。当然，屏幕的高度可以从数组的长度和宽度推算出。实现一个从 (x1, y) 到 (x2, y) 画一条水平线的函数。

    方法签名应类似于：

    1. drawline(byte[] screen, int width, int x1, int x2, int y)

    提示：#366, #387, #384, #397

附加问题：数组和字符串(#1.1, #1.4, #1.8)，数学和逻辑难题(#6.10)，递归(#8.4, #8.14)，排序和搜索(#10.7, #10.8)，c++(#12.10)，中等问题(#16.1, #16.7)，困难问题(#17.1)。

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