绘图

Sage可以绘制二维或三维图像。

绘制二维图像

二维图像中,Sage可以画圆、直线和多边形,在直角坐标系或极坐标系中做函数图像,等高线图,向量场图。下面是一些例子。更多关于绘图的例子请参考： 解微分方程组和Maxima, 以及”Sage的构成”。

下面的命令画一个以原点为中心,半径为1的黄色的圆：

  1. sage: circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0))
  2. Graphics object consisting of 1 graphics primitive

实心圆：

  1. sage: circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0), fill=True)
  2. Graphics object consisting of 1 graphics primitive

还可以把圆赋给一个变量,这样并不会将其画出来：

  1. sage: c = circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0))

要画出来的话,需要使用c.show()或show(c):

  1. sage: c.show()

或者,可以执行c.save('filename.png')把图像保存到文件中。

因为坐标轴的尺度不同,现在这个”圆”看上去像椭圆。可以这样解决：

  1. sage: c.show(aspect_ratio=1)

命令show(c, aspect_ratio=1)的效果是一样的,或者你可以在保存图像的时候使用c.save('filename.png', aspect_ratio=1).

绘制基本函数的图像是非常容易的：

  1. sage: plot(cos, (-5,5))
  2. Graphics object consisting of 1 graphics primitive

一旦指定了变量名,就可以绘制参数方程的图像：

  1. sage: x = var('x')
  2. sage: parametric_plot((cos(x),sin(x)^3),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.6))
  3. Graphics object consisting of 1 graphics primitive

特别注意,只有当原点在图片的可视范围内时,坐标轴才会相交。对于很大的数值,会使用科学记数法。

  1. sage: plot(x^2,(x,300,500))
  2. Graphics object consisting of 1 graphics primitive

还可以把多个图像组合在一起：

  1. sage: x = var('x')
  2. sage: p1 = parametric_plot((cos(x),sin(x)),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.2))
  3. sage: p2 = parametric_plot((cos(x),sin(x)^2),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.4))
  4. sage: p3 = parametric_plot((cos(x),sin(x)^3),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.6))
  5. sage: show(p1+p2+p3, axes=false)

画实心图形的一个好方法是先生成点的列表(下面例子中的L) 再用polygon命令画出由这些点形成的边界所组成的图形。比如下面是一个绿色的曲边三角形：

  1. sage: L =[[-1+cos(pi*i/100)*(1+cos(pi*i/100)),
  2. ....:    2*sin(pi*i/100)*(1-cos(pi*i/100))]for i in range(200)]
  3. sage: p = polygon(L, rgbcolor=(1/8,3/4,1/2))
  4. sage: p
  5. Graphics object consisting of 1 graphics primitive

输入show(p, axes=false)可以看到没有坐标轴的图形。

可以在图像上添加文字：

  1. sage: L =[[6*cos(pi*i/100)+5*cos((6/2)*pi*i/100),\
  2. ....:     6*sin(pi*i/100)-5*sin((6/2)*pi*i/100)]for i in range(200)]
  3. sage: p = polygon(L, rgbcolor=(1/8,1/4,1/2))
  4. sage: t = text("hypotrochoid", (5,4), rgbcolor=(1,0,0))
  5. sage: show(p+t)

微积分教师经常在黑板上画下面的图像：不是arcsin的一段,而是几段, 即函数$y=\sin(x)$(其中$x$介于$-2\pi$与$2\pi$之间)关于45度线的翻转。下面的命令可以构造出该图像：

  1. sage: v =[(sin(x),x) for x in srange(-2*float(pi),2*float(pi),0.1)]
  2. sage: line(v)
  3. Graphics object consisting of 1 graphics primitive

因为正切函数比正弦函数的范围大的多,如果你想用同样的方法做出反正切函数,需要调整一下$x$轴的最大、最小值：

  1. sage: v =[(tan(x),x) for x in srange(-2*float(pi),2*float(pi),0.01)]
  2. sage: show(line(v), xmin=-20, xmax=20)

Sage还可以绘制极坐标图形,等高线图和向量场图(对于某些特殊类型的函数)。 下面是等高线图的例子：

  1. sage: f = lambda x,y: cos(x*y)
  2. sage: contour_plot(f, (-4, 4), (-4, 4))
  3. Graphics object consisting of 1 graphics primitive

绘制三维图像

Sage也能创建三维图像。无论是在notebook中,还是在REPL中,显示三维图像默认都是调用开源软件包Jmol,它支持使用鼠标旋转和缩放图像。

使用plot3d绘制形如 $f(x, y) = z$ 的函数图像：

  1. sage: x, y = var('x,y')
  2. sage: plot3d(x^2 + y^2, (x,-2,2), (y,-2,2))
  3. Graphics3d Object

或者,你可以用parametric_plot3d绘制参数曲面, 其中$x, y, z$由一个或两个变量(参数,通常为$u$和$v$)确定。上面的图像可以表达为参数方程形式：

  1. sage: u, v = var('u, v')
  2. sage: f_x(u, v) = u
  3. sage: f_y(u, v) = v
  4. sage: f_z(u, v) = u^2 + v^2
  5. sage: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u, -2, 2), (v, -2, 2))
  6. Graphics3d Object

Sage中第三种绘制三维图像的方法是implicit_plot3d, 它绘制形如f(x, y, z) = 0(这定义了一个点集)的函数的图像。我们用经典公式绘制一个球面：

  1. sage: x, y, z = var('x, y, z')
  2. sage: implicit_plot3d(x^2 + y^2 + z^2 - 4, (x,-2, 2), (y,-2, 2), (z,-2, 2))
  3. Graphics3d Object

下面是一些例子：

Yellow Whitney’s umbrella:

  1. sage: u, v = var('u,v')
  2. sage: fx = u*v
  3. sage: fy = u
  4. sage: fz = v^2
  5. sage: parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, -1, 1), (v, -1, 1),
  6. ....:   frame=False, color="yellow")
  7. Graphics3d Object

Cross cap:

  1. sage: u, v = var('u,v')
  2. sage: fx = (1+cos(v))*cos(u)
  3. sage: fy = (1+cos(v))*sin(u)
  4. sage: fz = -tanh((2/3)*(u-pi))*sin(v)
  5. sage: parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, 0, 2*pi), (v, 0, 2*pi),
  6. ....:   frame=False, color="red")
  7. Graphics3d Object

Twisted torus:

  1. sage: u, v = var('u,v')
  2. sage: fx = (3+sin(v)+cos(u))*cos(2*v)
  3. sage: fy = (3+sin(v)+cos(u))*sin(2*v)
  4. sage: fz = sin(u)+2*cos(v)
  5. sage: parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, 0, 2*pi), (v, 0, 2*pi),
  6. ....:   frame=False, color="red")

Lemniscate:

  1. sage: x, y, z = var('x,y,z')
  2. sage: f(x, y, z) = 4*x^2 * (x^2 + y^2 + z^2 + z) + y^2 * (y^2 + z^2 - 1)
  3. sage: implicit_plot3d(f, (x, -0.5, 0.5), (y, -1, 1), (z, -1, 1))
  4. Graphics3d Object