基本介绍

  • 堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为 O(nlogn)，它也是不稳定排序。
  • 堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆, 注意 : 没有要求结点的左孩子的值和右孩子的值的大小关系。
  • 每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。

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  • 一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆

基本思想

  • 将待排序序列构造成一个大顶堆
  • 此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。
  • 将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。
  • 然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。

    整个过程可以分为两个大部分，一个就是调整树为大顶堆（这样最大值就会出现在树的最顶端），然后将最顶端的值与最后的值交换，这样最大值的值其实就出现在树的最后。再进行下一次的循坏，就可以完成排序功能。 在构建大顶堆的过程中，元素的个数是逐渐减少的。

应用案例

要求：给你一个数组 {4,6,8,5,9} , 要求使用堆排序法，将数组升序排序。 

  1. public class HeapSort {
  2.     public static void main(String[] args) {
  3.         //要求将数组进行升序排列
  4.         int arr[] = {4, 6, 8, 5, 9, 2, 6, 10, 54, 45, 24, 11};
  5.         heapSort(arr);
  6.     }
  8.     //编写一个堆排序的方法
  9.     public static void heapSort(int arr[]) {
  10.         int temp = 0;
  11.         System.out.println("堆排序");
  13. //        adjustHeap(arr, 1, arr.length);
  14. //        System.out.println(Arrays.toString(arr));
  15. //
  16. //        adjustHeap(arr,0,arr.length);
  17. //        System.out.println(Arrays.toString(arr));
  18.         //将无序列表建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆和小顶堆
  19.         for (int i = arr.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
  20.             adjustHeap(arr, i, arr.length);
  21.         }
  23.         for (int j = arr.length - 1; j > 0; j--) {
  24.             temp = arr[j];
  25.             arr[j] = arr[0];
  26.             arr[0] = temp;
  27.             //经过第一轮交换之后，就是树顶发生了变化，所以中间这里可以填0
  28.             adjustHeap(arr, 0, j);
  29.         }
  30.         System.out.println(Arrays.toString(arr));
  31.     }
  33.     //将一个数组（二叉树）调整为一个大顶堆
  35.     /**
  36.      * 完成将以i对应的非叶子节点的树调整成大顶堆
  37.      *
  38.      * @param arr    待调整的数组
  39.      * @param i      表示非叶子节点的个数
  40.      * @param length 表示对多少个元素继续调整，length是逐渐减少的
  41.      */
  42.     public static void adjustHeap(int arr[], int i, int length) {
  43.         int temp = arr[i];//取出当前元素的值保存在一个临时变量中
  44.         for (int k = i * 2 + 1; k < length; k = k * 2 + 1) {
  45.             if (k + 1 < length && arr[k] < arr[k + 1]) {//左子节点小于右子节点
  46.                 k++;//指向右子节点
  47.             }
  48.             if (temp < arr[k]) {
  49.                 arr[i] = arr[k];//把较大的子节点赋给当前的节点
  51.                 i = k;//i指向k，继续循环比较
  52.             } else {
  53.                 break;
  54.             }
  55.         }
  56.         //for循环结束后，已经将以i为父节点的最大值放在最顶上（局部）
  57.         arr[i] = temp;
  58.     }
  59. }

图示
步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。
1) .假设给定无序序列结构如下
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2) .此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。
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3) .找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。
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4) 这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。
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此时，我们就将一个无序序列构造成了一个大顶堆。

这里需要注意一个点就是：初始是从最后一个非叶子点开始排序的，从下往上继续按照非叶子节点排序，但是上层的非叶子节点的更换会导致下方的变化。 所以我们需要对下面的继续修改，问题是只有更改了节点才需要继续修改，未被修改的节点在第一次排序的时候必然已经满足条件。

步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。
1) .将堆顶元素9和末尾元素4进行交换
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2) .重新调整结构，使其继续满足堆定义
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3) .再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8.
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4) 后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序
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